17 第1部分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 1 能力考点1　构造不等式求最值或范围 1．(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4． (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且＝0，求△MFN面积的最小值． [解]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0， 由Δ1＝16p2－8p>0，得p>． 由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p， 所以|AB|＝， 解得p＝2或p＝－(舍去)，故p＝2． (2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)． 因为＝0，所以∠MFN＝90°， 则S△MFN＝＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)．　(*) ①当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称， 因为∠MFN＝90°， 所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1． 不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1， 由得x2－6x＋1＝0，得或 代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4． ②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m． 由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0， Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0， 则 y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝． 又＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0， 所以＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4． 所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1) ＝＝＋1． 令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1， 因为m2＋k2＋6km＝4， 所以>0， 即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2或t<－3－2， 从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4． 综上所述，△MFN面积的最小值为4． 2．(2019·全国Ⅱ卷)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－．记M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G． ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值． [解]　(1)由题设得，化简得＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 (2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k＞0)． 由得x＝±．记u＝， 则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)． 于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)． 由得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0．① 设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝，由此得yG＝． 从而直线PG的斜率为．所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形． ②由①得|PQ|＝2u＝， 所以△PQG的面积S＝＝． 设t＝k＋，则由k＞0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号． 因为S＝在[2，＋∞)上单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为． 因此，△PQG面积的最大值为． 求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系． (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式．基本不等式求最值的5种典型情况： ①s＝(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)． ②s＝(基本不等式)． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 ③s＝(基本不等式)． ④s＝(先分离参数，再利用基本不等式)． ⑤s＝(分子、分母同时除以k2，令t＝k＋换元，再利用基本不等式)． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．[借助隐含关系建立不等式]设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于不同的两点P，Q，若点O在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围． [解]　显然直线x＝0不满足题设条件，故可设直线l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 第3讲　圆锥曲线中的最值、范围问题 ∵Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0， ∴k∈， ∴x1＋x2＝， 根据题意，得0°<∠POQ<90°，即>