16 第1部分 专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 1 基础考点1　圆锥曲线的定义、标准方程 1．(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A．　　　　B．3　　　　C．　　　　D．2 2 4 1 3 题号 √ 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 2 4 1 3 题号 B　[法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16．不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则＝×6＝3．故选B． 法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2，0)，F2(2，0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝所以△PF1F2是直角三角形，所以＝3(其中θ＝∠F1PF2)．故选B．] B　[因为离心率e＝，解得a2， A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，B为上顶点，所以B(0，b)．所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为＝－1， 所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．故选B．] 2 4 3 题号 1 2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为(　　) A．＝1　　　　B．＝1　　　　C．＝1　　　　D．＋y2＝1 √ 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 4 2 4 3 题号 1 3．(2023·天津卷)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A．＝1　　　　B．＝1 C．＝1　　　　D．＝1 √ 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 2 4 3 题号 1 D　[法一：不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立并解得即P． 因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝＝b，所以b＝2． 因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为，所以，化简得，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以，整理得a2－2a＋2＝0，即2＝0，解得a＝．所以双曲线的方程为＝1，故选D． 2 4 3 题号 1 法二：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为＝1，则F1，F2，渐近线方程为y＝±x，不妨取渐近线y＝x，则直线PF2的方程为y＝－，与渐近线方程y＝x联立，得P，则，又直线PF1的斜率为，所以双曲线方程为＝1不符合题意，排除A，故选D．] 2 4 1 3 题号 4．(2020·新高考Ⅰ卷改编)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是________．(填序号) ①若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上； ②若m＝n>0，则C是圆，其半径为； ③若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝； ④若m＝0，n>0，则C是两条直线． ①③④ 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第2讲　圆锥曲线的定义、方程及性质 8 2 4 1 3 题号 ①③④　[对于①，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于②，∵m＝n>0， ∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于③，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±x，正确；对于④，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝该方程表示两条直线，正确．] 9 【教师备选题】 (2021·浙江卷)已知a，b∈R，ab>0，函数f (x)＝ax2＋b(x∈R)，若f (s－t)， f (s)，f (s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是(　　) A．直线和圆　　　　　　　 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线　　　　 D．直线和抛物线 √ C　[因为函数f (x)＝ax2＋b，所以f (s－t)＝a(s－t)2＋b，f