15 第1部分 专题5 强基专题6 隐圆问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题五　解析几何 强基专题6　隐圆问题 1 类型1　利用圆的定义或垂直关系确定隐圆 【例1】　(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)，且m>0.若圆C上存在一点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值是(　　) A．7　　　　B．6　　　　C．5　　　　D．4 (2)已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为 ________________． √ 强基专题6　隐圆问题 (1)B　(2)　[(1)如图所示，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的半径为1，|OC|＝5，所以圆C上的点到点O距离的最大值为6，最小值为4， 由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，连接OP， 故|PO|＝|AB|＝m，故4≤m≤6.所以m的最大值是6. (2)由题意得圆心M(a，a－4)在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆．又因为圆M上存在点P，经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝2，即点P也在圆x2＋y2＝4上，于是2－1 ≤≤2＋1，即1≤≤3，解得实数a的取值范围是.] 题目中若已知到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定常数，或者得到动点到两定点的夹角为直角，则可以得到点的轨迹为圆． 强基专题6　隐圆问题 [3－，3＋]　[如图所示，由条件可知两动直线x＋ny＝0，nx－y－4n＋2＝0(n∈R)分别过原点O和E(4，2)，且两直线互相垂直． 所以动点P的轨迹为以|OE|为直径的圆，|OE|＝2，设圆心为D，则D(2，1)． 显然当A，P，D三点共线时取得最值，设直线 AD与圆D交于点B，C，故|PA|∈[|AB|，|AC|]， 即|PA|∈[3－，3＋].] [跟进训练] 1．(2023四川达州模拟预测)已知点A(－1，1)，设动直线x＋ny＝0和动直线nx－y－4n＋2＝0(n∈R)交于点P，则|PA|的取值范围是_____________________． [3－，3＋] 强基专题6　隐圆问题 类型2　两定点A，B，动点P满足|PA|＝λ|PB|(λ＞0，λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆) 【例2】　在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的左侧，若直线x＋y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则m的取值范围为________． 　[由题意得A(－1，0)，B(1，0)， 设P(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，得＝2， 即＋y2＝， 因此圆＋y2＝与直线x＋y＋m＝0有交点， 即，解得－≤m≤1.故m的取值范围为.] 强基专题6　隐圆问题 在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA|＝λ|PB|，当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆． 强基专题6　隐圆问题 [跟进训练] 2．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝|PT|，则实数k的取值范围是____________． 　[由题意知A(－2，0)，C(2，0)，设P(x，y)，则由|PA|＝|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，化简得(x－6)2＋y2＝36， 所以满足|PA|＝|PT|的点P在以点(6，0)为圆心，6为半径的圆上， 由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以d＝≤6，解得－≤k≤.] 强基专题6　隐圆问题 类型3　两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐圆(距离平方圆) 【例3】　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)． (1)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？ 若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由； (2)若圆C上存在唯一的点Q，使得＋2＝λ， 求λ的值． 强基专题6　隐圆问题 [解]　(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2. 假设圆C上存在点P， 设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12， 即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4， 因为|2－2|<<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2. (2)设Q(x0，y0)，则λ＝＋2＝－2y0