13 第1部分 专题4 强基专题5 概率中的函数、数列问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题四　概率与统计 强基专题5　概率中的函数、数列问题 1 类型1　概率中的函数问题 【例1】　(2020·新高考Ⅰ卷改编)信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1，2，…，n)， A．若n＝1，则H(X)＝0 B．若n＝2，则H(X)随着p1的增大而增大 C．若pi＝(i＝1，2，…，n)，则H(X)随着n的增大而减小 D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且P(Y＝j)＝ pj＋p2m＋1－j(j＝1，2，…，m)，则H(X)≤H(Y) √ 强基专题5　概率中的函数、数列问题 A　[对于选项A，若n＝1，则p1＝1，log21＝0， ∴H(X)＝－p1log2p1＝－log21＝0，A正确．对于选项B，当p1＝时，H(X)＝ ＝－，由此可得，当p1＝与p1＝时，信息熵相等， ∴B不正确．对于选项C，若pi＝，则H(X)＝ ，H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)·log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，H(Y)－H(X)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]＋p1log2p1＋p2mlog2p2m＋…＋pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1＝p1·log2＋…＋p2m·log2．易知0<<1，…，0<<1，∴log2<0，…，log2<0，∴H(Y)<H(X)，故D不正确．] 【例2】　(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)． (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义． 强基专题5　概率中的函数、数列问题 [解]　(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1． (2)法一：(常规求导) p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0， 令f (x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f ′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1， 令h(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，h′(x)＝2p2＋6p3x≥0， ∴f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时， f ′(x)≤f ′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0， ∴f (x)在(0，1]上单调递减，注意到f (1)＝0， ∴x＝1，即p＝1， 当E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1时，注意到f ′(0)＝p1－1＜0，f ′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0， ∴存在唯一的x0∈(0，1)使f ′(x0)＝0，且当0＜x＜x0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减； 当x0＜x＜1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增， 注意到f (0)＝p0＞0，f (1)＝0，∴f (x0)＜f (1)＝0． ∴f (x)在(0，x0)上有一个零点x1，另一个零点为1，∴p＝x1＜1． 法二：(巧妙因式分解) 由题意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3， 由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x⇒p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0， ∴p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0⇒p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)(x＋1)＝0， (x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0， 令f (x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，f (x)图象的对称轴为x＝－＜0， 注意到f (0)＝－p0＜0，f (1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1， 当E(X)≤1，f (1)≤0，f (x)＝0的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1， 当E(X)＞1，f (1)＞0，f (x)＝0的正实根x0＜1，原方程的最小正实根p＝x0＜1． (3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能． 概率统计问题与函数的交汇，综合性较强，一是借助二