10 第1部分 专题3 强基专题4 立体几何中的动态问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题三　立体几何 强基专题4　立体几何中的动态问题 1 类型1　以静制动(旋转问题、投影问题) 【例1】　正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α(如图)，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是__________． 　[去掉与问题无关的面，将四面体看成是以AB为棱的二面角C-AB-D(二面角大小一定)，用纸折出这个二面角，不妨将AB置于平面α内，将二面角绕AB转动一周，观察点C，D在平面α上的射影，可以发现点C，D在平面α上的射影始终在AB的射影的中垂线上． 强基专题4　立体几何中的动态问题 当CD∥平面α时，四边形ABCD面积最大，为(如图1)，当CD⊥平面α时(此时点C(D)到AB的距离即为异面直线AB与CD的距离)，四边形ABCD面积最小为(如图2)，转动过程中C，D在平面α上的射影从C，D变化到C'，D'(如图3)，故构成的图形面积的取值范围是．] 图1　　　　　图2　　　　　　　图3 在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键． 强基专题4　立体几何中的动态问题 [跟进训练] 1．如图，直线l⊥平面α，垂足为O．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2．点A是直线l上的动点，点B1在平面α内，则点O到线段CD1的中点P的距离的最大值为_____________． +2　[从题图分化出4个点O，A，B1，P，其中△AOB1为直角三角形，固定A，B1，点P的轨迹是在与AB1垂直的平面上且以AB1的中点Q为圆心的圆， 从而OP≤OQ+QP＝AB1+2＝+2， 当且仅当OQ⊥AB1，且点O，Q，P共线时取到等号，此时直线AB1与平面α成45°角．] +2 强基专题4　立体几何中的动态问题 　[如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF， 可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E，同理可得C1H∥CF， 因为C1H∩C1G＝C1， 所以平面C1GH∥平面CD1EF． 由M是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF， 则点M在线段GH上， 所以M点的轨迹长度GH＝．] 类型2　动点轨迹问题 【例2】　如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1EF，则M点的轨迹长度为　　　　． 强基专题4　立体几何中的动态问题 空间中动点轨迹问题变化并不多，一般此类问题可以从三个角度进行分析处理，一是从曲线定义或函数关系出发给出合理解释；二是平面与平面交线得直线或线段；三是平面和曲面(圆锥，圆柱侧面，球面)交线得圆、圆锥曲线．很少有题目会脱离这三个方向． 强基专题4　立体几何中的动态问题 [跟进训练] 2．(2023·四川宜宾高考预测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，P为平面BCC1B1内的动点，且满足AM∥平面A1BP，则下列结论正确的个数是(　　) ①AM⊥B1M；②CD1∥平面A1BP；③动点P的轨迹长为；④AM与A1B1所成角的余弦值为． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 √ 强基专题4　立体几何中的动态问题 C　[如图，以B为原点建立空间直角坐标系， 则A(0，0，2)，A1(0，2，2)，B(0，0，0)，B1(0，2，0)，M(2，1，0)，设P(x，y，0)， 所以＝(0，－2，－2)，＝(x，y，0)，＝(2，1，－2)， 由AM∥平面A1BP，得＝a+b，a，b∈R， 即 化简可得3x－2y＝0， 所以动点P在直线3x－2y＝0上， 如图，在平面BCC1B1内，直线3x－2y＝0与B1C1交于点P1，则BP1即为动点P的轨迹． ＝(2，1，－2)，＝(2，－1，0)， ·＝2×2+1×(－1)+(－2)×0＝3≠0， 所以AM与B1M不垂直，①错误； 因为CD1∥A1B，A1B⊂平面A1BP，CD1⊄平面A1BP， 所以CD1∥平面A1BP，②正确； 易知P1，所以|P1B|＝，③正确； ＝(0，0，－2)，cos〈〉＝，④错误．故选C．] 类型3　翻折问题 【例3】　如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为　　　　． 4 强基专