09 第1部分 专题3 第2讲 空间向量与立体几何-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题三　立体几何 第2讲　空间向量与立体几何 1 基础考点1　利用空间向量求空间角 1．(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足，求二面角D-AB-F的正弦值． [解]　(1)证明：如图，连接DE，AE， 因为DC＝DB，E为BC的中点，所以DE⊥BC． 因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB， 所以△ADB≌△ADC(SAS)． 可得AC＝AB，故AE⊥BC． 因为DE∩AE＝E，DE，AE⊂平面ADE， 所以BC⊥平面ADE． 又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA． (2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC． 不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2． 由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝． 因为AE⊥BC，所以AE＝． 在△ADE中，AE2+ED2＝AD2，所以AE⊥ED． 以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴， EA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0， ＝(－，0，＝(0，－)． 设F(xF，yF，zF)，因为，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)．所以＝(，0，0)． 设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则 取x1＝1，则y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)． 设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则 得x2＝0，取y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)． 所以cos〈m，n〉＝． 记二面角D-AB-F的大小为θ，则sin θ＝， 故二面角D-AB-F的正弦值为． 2．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点． (1)证明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°， PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值． [解]　(1)证明：连接OA．因为PO是三棱锥P-ABC的高， 所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°． 又PA＝PB，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB． 取AB中点D，连接OD，DE，则有OD⊥AB，又在平面ABC中， AB⊥AC，所以OD∥AC． 又因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 第2讲　空间向量与立体几何 又D，E分别为AB，PB的中点， 所以在△BPA中，DE∥PA． 又因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC， 所以DE∥平面PAC． 又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D， 所以平面ODE∥平面PAC． 又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC． (2)过点D作DF∥OP，以DB所在直线为x轴，DO所在直线为y轴，DF所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为PO＝3，PA＝5，由(1)知OA＝OB＝4， 又∠ABO＝∠CBO＝30°，所以OD＝2，DB＝2， 所以P(0，2，3)，B(2，0，0)，A(－2，0，0)， E，设AC＝a，则C(－2，a，0)． 设平面AEB的法向量为n1＝(x，y，z)，直线AB的方向向量可设为a＝(1，0，0)，直线DP⊂平面AEB，直线DP的方向向量为b＝(0，2，3)， 即 所以x＝0，设y＝3，则z＝－2，所以n1＝(0，3，－2)． 设平面AEC的法向量为n2＝(x1，y1，z1)，＝(0，a，0)，＝， 即 所以y1＝0，设x1＝，则z1＝－6，所以n2＝(，0，－6)． 所以cos〈n1，n2〉＝，设二面角C-AE-B的平面角为θ，则sin θ＝，所以二面角C-AE-B的正弦值为． 【教师备选题】 (2023新高考Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3． (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P． 基础考点1 基础考点2 专题限时集训 第2讲　空间向量与立体几何 [解]　(1)证明：以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)， 所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)， 所以=，所以B2C2∥A2D2． (2)设BP＝n(0≤n≤4)，则P(0，2，n)， 所以