06 第1部分 专题2 强基专题2 数列不等式放缩的基本类型-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题二　数列 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 1 【例1】　求证：＜1(n∈N*)． [分析]　不等式左边可用等比数列前n项和公式求和． [证明]　左边＝＜1． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 【变式】　求证：＜1(n∈N*)． [分析]　左边不能直接求和，须先将其通项放缩后再求和． [证明]　∵＜， ∴左边＜ ＝＜1． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项an放缩后再求和． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 【例2】　求证：＜(n∈N*)． [分析]　左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩． [证明]　∵， ∴左边＝＜． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 【变式1】　求证：1＋＜2(n∈N*)． [分析]　左边不能直接求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和． [证明]　∵＜(n≥2)， ∴左边＜1＋＜2(n≥2)， 当n＝1时，不等式显然也成立． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 【变式2】　求证：1＋＜(n∈N*)． [分析]　变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行修正． [证明]　法一：将变式1的通项从第三项开始放缩． ＜(n≥3)， 左边＜1＋＜(n≥3)， 当n＝1，2时，不等式显然也成立． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 法二：将通项放得比变式1更小一点． ＜(n≥2)， 左边＜1＋＜1＋(n≥2)， 当n＝1时，不等式显然也成立． 【变式3】　(2023四川成都模拟预测改编)已知x∈时，sin x<x，求证：sin ＋sin ＋sin ＋＋sin <2． [证明]　因为x∈时，sin x<x， 所以sin ＋sin ＋sin ＋＋sin <， 记S＝①， 则②， ①－②可得， 即， 所以S＝2－<2，所以sin ＋sin ＋sin ＋＋sin <2． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不会使结果放得过大或缩得过小． 常用放缩： (1)＜；(2)＜； (3)＞； (4)2＝＜＜＝2． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 [跟进训练] 1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1，n∈N*，Sn是数列的前n项和，则下列结论中正确的是(　　) A．S2n－1≤(2n－1) B．S2n＞Sn＋ C．S2n≥Sn D．存在常数M，使得Sn≤M C　[易知a2＝2，由an＋an＋1＝2n＋1，an＋1＋an＋2＝2n＋3，两式相减，得an＋2－an＝2，即此数列每隔一项成等差数列，由a1＝1，可得数列的奇数项为1，3，5，， 由a2＝2，可得其偶数项为2，4，6，，故an＝n．∴Sn＝1＋． 对于选项A，当n＝2时，S3＝1＋，右式＝3×，因此左式＞右式，故A错误； √ 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 对于选项B，S2n－Sn＝，当n＝1时等号成立，故B错误； 对于选项C，∵S2n－，又2n＞2n－1，∴＞， ∴1＋＝，故C正确； 对于选项D，当n→＋∞时， Sn＝1＋＝1＋＋>1＋＋ ＝＋∞，故D错误．] 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，＝2． (1)求数列{an}的通项公式和Sn； (2)记bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则＝2，即＝2，解得d＝2． 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， Sn＝n＋×2＝n2． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 (2)证明：当n＝1时，Tn＝1＜． 当n≥2时，bn＝＜， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋＋bn＜1＋＜1＋．综上可知，Tn＜． 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 $$