05 第1部分 专题2 强基专题1 数列中的奇、偶项问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题二　数列 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 1 【例1】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(k∈N*)．则下列选项错误的是(　　) A．a6＝14 B．数列{a2k－1＋3}(k∈N*)是以2为公比的等比数列 C．对于任意的k∈N*，a2k＝2k+1－3 D．Sn＞1 000的最小正整数n的值为15 √ 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 C　[由题设可得a2k－a2k－1＝1，a2k＋1－2a2k＝1， 因为a1＝1，a2－a1＝1，故a2＝a1＋1＝2， 所以a2k＋2－a2k＋1＝1，a2k＋1－2a2k＝1，所以a2k＋2－2a2k＝2， 所以a2k＋2＋2＝2(a2k＋2)，因为a2＋2＝4≠0，故a2k＋2≠0，所以＝2，所以{a2k＋2}为等比数列， 所以a2k＋2＝4×2k-1，即a2k＝2k+1－2，故a6＝16－2＝14，故A正确，C错误． 又a2k－1＝2k+1－2－1＝2k+1－3，故a2k－1＋3＝2k+1， 所以＝2，即{a2k－1＋3}(k∈N*)是以2为公比的等比数列，故B正确． S14＝a1＋a2＋＋a14 ＝a1＋(a1＋1)＋＋a13＋(a13＋1) ＝2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13)＋7 ＝2×(22－3＋23－3＋＋28－3)＋7＝981， S15＝S14＋a15＝981＋509＝1 490＞1 000， 故Sn＞1 000的最小正整数n的值为15，故D正确．故选C．] 题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D项是否成立时注意先考虑S14的值． 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 【例2】　已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)． (1)若数列{an}是等差数列，求a1的值； (2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn． [解]　(1)若数列{an}是等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd． 由an＋1＋an＝4n－3， 得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝2nd＋2a1－d＝4n－3， 所以2d＝4，2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－． 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 (2)由an＋1＋an＝4n－3，得 an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*)． 两式相减，得an＋2－an＝4． 所以数列{a2n－1}是首项为a1，公差为4的等差数列，数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列， 由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1． 所以an＝ 法一：①当n为偶数时，Sn＝(a1＋a3＋＋an－1)＋(a2＋a4＋＋an)＝． ②当n为奇数时，Sn＝．所以Sn＝ 法二：①当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋＋(an－1＋an)＝1＋9＋＋(4n－7)＝； ②当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋＋(an－2＋an－1)＋an ＝1＋9＋＋(4n－11)＋2n＝．所以Sn＝ 1．数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f (n)或anan＋1 ＝f (n))属于数列中的奇、偶项问题． 2．对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项和偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝ S2k－a2k． 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 2 4 1 3 题号 C　[根据题意，数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n(2n－1)， 当n为奇数时，有an＋1＋an＝－(2n－1)，其中当n＝1时，有a2＋a1＝－1， 当n＝3时，有a4＋a3＝－5，当n＝5时，有a6＋a5＝－9， 当n＝59时，有a60＋a59＝－(2×59－1)＝－117， 则{an}的前60项和S60＝(a2＋a1)＋(a4＋a3)＋(a6＋a5)＋＋(a60＋a59)＝(－1)＋(－5)＋(－9)＋＋(－117)＝－(1＋5＋9＋＋117)＝－＝－1 770．故选C．] [跟进训练] 1．数列{an}满足an＋1＋an＝(－1)n(2n－1)，则{an}的 前60项和为(　　) A．－1 710　　　　B．－1 740　　　　C．－1 770　　　　D．－1 880 √ 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 2 4 3 题号 1 2．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝bn＝a2n－2． (1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列{bn}为等比数列，并求其通项公式； (3)求a2＋a4＋＋a2n的和Tn． [解]　(1)a1＝1，an＋1＝ 可得a2＝1＋， a3＝a2－4＝－． 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 11 2 4 3 题号