03 第1部分 专题2 第1讲 等差数列、等比数列-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习课件（老教材）

第一部分 高频题型 重难探究 专题二　数列 1 第1讲　等差数列、等比数列 【高考扫描】　 1．对等差、等比数列的基本量运算及其性质的考查主要以选择题、填空题为主；对等差、等比数列的判定与证明主要以解答题为主． 2．常与数学文化交汇命题，难度中等偏下． 2 C　[法一(直接运用等比数列的通项公式与前n项和公式求解)：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C． 法二(直接求和法)：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15．故选C．] 基础考点1　等差(比)数列的基本运算 1．(2023全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1， S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A．　　　　B．　　　　C．15　　　　D．40 2 4 1 3 题号 √ C　[∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an， ∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n． 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴＝215－25， 即2k+1(210－1)＝25(210－1)，∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4．] 2 4 3 题号 1 2．(2020全国Ⅱ卷)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 √ 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第1讲　等差数列、等比数列 4 2 4 3 题号 1 3．(2020新高考Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 3n2－2n　[数列{2n－1}的各项为1，3，5，7，9，11，13，…； 数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，…． 观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则an＝1＋6(n－1)＝6n－5．故前n项和为Sn＝＝＝3n2－2n．] 3n2－2n 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第1讲　等差数列、等比数列 2 4 1 3 题号 4．(2022新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4． (1)证明：a1＝b1；(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数． [解]　(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4， 知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)， 故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－a1，整理得a1＝b1，得证． (2)由(1)知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知：b12k-1＝a1＋(m－1)d＋a1， 即b12k-1＝b1＋(m－1)2b1＋b1，即2k-1＝2m， 因为1≤m≤500，故2≤2k-1≤1 000，解得2≤k≤10，故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9． 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第1讲　等差数列、等比数列 6 【教师备选题】 (2020新高考Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8． (1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100． [解]　(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q>1)．由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8． 解得q＝(舍去)，q＝2．由题设得a1＝2．所以{an}的通项公式为an＝2n． (2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n+1时，bm＝n． 所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480． 基础考点1 基础考点3 基础考点2 专题限时集训 第1讲　等差数列、等比数列 等差(比)数列基本运算的解题途径 (1)设基本量a1和公差d(公比