18 第1部分 专题5 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值问题-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习讲义（老教材）

　圆锥曲线中的定点、定值问题 【高考扫描】　 以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，重点考查直线或圆锥曲线运动变化，探求直线是否过定点、线段长、直线的斜率或斜率之和(积)等是否为定值的问题，难度较大． 能力考点1　定点问题 1．(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 1．[直线过定点的模型]已知椭圆C：＋y2＝1，点P(0，1)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点． (1)若直线PA与直线PB的斜率的和为－1，求证：直线l过定点； (2)若点Q总满足∠AQO＝∠BQO，证明：直线l过定点； (3)有如下结论：“圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2”，类比也有结论：“椭圆＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为＝1”．过直线x＝上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过一定点． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．[曲线过定点的模型](2023·四川成都七中校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－2与x轴交于点A，过l右侧的点P作PM⊥l，垂足为M，且|PA|＝|PM|＋|OA|． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)过点B的动直线l′交轨迹C于S，T． 证明：以线段ST为直径的圆过定点． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 能力考点2　定值问题 1．(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． [听课记录]