11 第1部分 专题4 第1讲 概率、随机变量及其分布-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习讲义（老教材）

　概率、随机变量及其分布 【高考扫描】　 1．概率重点考查条件概率、相互独立事件、独立重复试验等概率的计算问题． 2．超几何分布、二项分布重点考查提取信息建立数学模型，并应用期望、方差对实际问题作出决策的能力． 3．正态分布常与频率分布直方图交汇命题． 基础考点1　条件概率、相互独立事件的概率 1．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 2．(2023·新高考Ⅱ卷改编)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β． 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．下列说法不正确的是(　　) A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3 D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 3．(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图． (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区任选出1人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1)． 概率的解题原则：先定型，再求解 (1)条件概率：在事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A)＝． (2)相互独立事件同时发生的概率： P(AB)＝P(A)P(B)． (3)独立重复试验恰好发生k次的概率： P(X＝k)＝(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n． 提醒：解决条件概率的关键是明确“既定条件”，即在“谁发生的条件下，求谁的概率”． 1．[条件概率](2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 2．[条件概率的应用]托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P(A|B)＝·P(Ac)称为B的全概率．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.010 98，则用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为(　　) A．0.1% B．8% C．9% D．99% 3．[概率的综合问题]甲、乙两人参加单板滑雪坡面障碍技巧项目的比赛，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种． (1)甲在每次挑战中，成功的概率都为．设X为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和数学期望； (2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1． (ⅰ)求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率； (ⅱ)求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率．