06 第1部分 专题2 强基专题2 数列不等式放缩的基本类型-【提分教练】2024年新高考数学(理科)二轮总复习讲义（老教材）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 zxxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 强基专题2 数列不等式放缩的基本类型 【例1】 求证：支+分+京++<10m∈N. [分析]不等式左边可用等比数列前n项和公式求和. [听课记录] 【变式】 求证：布+克+本++本<1meN) [分析]左边不能直接求和，须先将其通项放缩后再求和， …反思领悟… 放缩法证明与数列求和有关的不等式，4可直按求和，就先求和 再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项a,放缩后再求和， 【例2】 求证：文+高+7++2m2西<0m∈N) [分析]左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩。 [听课记录] 独家授权侵权必究。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【变式1】 求证：1+克+京++京<2neN). [分析]左边不能直接求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和， 【变式2】 求证：1+京+京+.+京<m∈N。 一题多解) [分析]变式2的结论比变式1强，要达目的，领将变式1放缩的“度”进行修 正. 【变式3】(2023四川成都模拟预测改编)已知x∈(0，+o)时，sin x x,求证： sin+sim子+sin是++sin2ac2. 。反思领悟… 放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要采用“有所保留”的 方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才 不会使结果放得过大或缩得过小. 常用放缩： ·独家授权侵权必究· 享学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 片<南=点责： 2)哈<本==（府本）： 6)京>冲南=方本： 42(Vn+1-)=a+<店=<a+a=2(Va-n-i). [跟进训练] 1.已知数列{a满足a=l,an十a+1=2n十l,neN,S,是数列{完}的前n 项和，则下列结论中正确的是() A.S-1≤(2m-1)号 B.Sin>S C.n≥是+ D.存在常数M,使得S,≤M 2.已知等差数列a}的前n项和为S若a=1,翌-8=2。 (1)求数列{an}的通项公式和Sm: (2)记b,=立，数列bw的前n项和为Tn,求证：工<子 提示〉请完成《高考热点强化（二）》 见第129页 独家授权侵权必究 强基专题2　数列不等式放缩的基本类型 例1　证明：左边＝＝1－<1． 变式 证明：∵ ∴左边<＋…＋＝1－<1． 例2　[证明]　∵， ∴左边＜ ＝＜1． 变式1 证明：∵n≥2)， ∴左边＝． 当n＝1时，不等式显然也成立． 变式2 证明：法一：将变式1的通项从第三项开始放缩． n≥3)， 左边＜1＋(n≥3)， 当n＝1，2时，不等式显然也成立． 法二：将通项放得比变式1更小一点． (n≥2)， 左边＜1＋＜1＋(n≥2)， 变式3 证明：因为x∈sin x<x， 所以sin＋sin＋sin＋…＋sin＋…＋ 记S＝＋…＋①， S＝＋…＋②， ①－②S＝＋…＋ S＝＝1－＝1－ 所以S＝2－<2， 所以sin＋sin＋sin＋…＋sin<2． 跟进训练 1．C　[易知a2＝2，由an＋an＋1＝2n＋1，an＋1＋an＋2＝2n＋3，两式相减，得an＋2－an＝2，即此数列每隔一项成等差数列，由a1＝1，可得数列的奇数项为1，3，5，…， 由a2＝2，可得其偶数项为2，4，6，…，故an＝n． ∴Sn＝1＋＋…＋． 对于选项A，当n＝2时，S3＝1＋ 右式＝3×>右式，故A错误； 对于选项B，S2n－Sn＝＋…＋≥n×n＝1时等号成立，故B错误； 对于选项C，∵S2n－Sn＝1＋＋…＋2n>2n－1，∴ ∴1＋＋…＋≥1＋＋…＋C正确； 对于选项D， 当n→＋∞时， Sn＝1＋ ＝1＋>1＋＝＋∞，故D错误．] 2．解：(1)设等差数列{an}的公差为d＝2＝2，解得d＝2． 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， Sn＝n＋×2＝n2． (2)证明：当n＝1时，Tn＝1<． 当n≥2时，bn＝， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋＋bn＜1＋＜1＋． 综上可知，Tn＜． 学科网（北京）股份有限公司 $$