27 环节1 专题6 §6 利用导数解决不等式恒(能)成立问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题六　函数、导数和不等式 §6　利用导数解决不等式恒(能)成立问题 环节1 1 【典例1】　 (2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝xeax－ex． (1)当a＝1时，讨论f (x)的单调性； (2)当x>0时，f (x)<－1，求实数a的取值范围； (3)设n∈N*，证明：＋…＋>ln (n＋1)． 能力考点1　端点效应解决单变量不等式恒(能)成立问题 [解]　(1)当a＝1时，f (x)＝(x－1)ex，则f ′(x)＝xex， 当x＜0时，f ′(x)＜0，当x＞0时，f ′(x)>0， 故f (x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)(端点效应)设h(x)＝xeax－ex＋1，则h(0)＝0， 又h′(x)＝(1＋ax)eax－ex， 设g(x)＝(1＋ax)eax－ex，则g′(x)＝(2a＋a2x)eax－ex． 若a＞，则g′(0)＝2a－1＞0， 因为g′(x)为连续函数， 故存在x0∈(0，＋∞)，使得∀x∈(0，x0)，总有g′(x)＞0， 故g(x)在(0，x0)上单调递增，故g(x)＞g(0)＝0， 故h(x)在(0，x0)上单调递增，故h(x)＞h(0)＝0，与题设矛盾． 3 若0＜a≤，则h′(x)＝(1＋ax)eax－ex＝eax＋ln (1+ax)－ex， 下证：对任意x＞0，总有ln (1＋x)＜x成立， 证明：设S(x)＝ln (1＋x)－x，故S′(x)＝－1＝＜0， 故S(x)在(0，＋∞)上为减函数， 故S(x)＜S(0)＝0，即ln (1＋x)＜x成立． 由上述不等式有eax＋ln (1+ax)－ex＜eax＋ax－ex＝e2ax－ex≤0， 故h′(x)≤0总成立，即h(x)在(0，＋∞)上为减函数， 所以h(x)＜h(0)＝0，即f (x)＜－1． 当a≤0时，有h′(x)＝eax－ex＋axeax＜1－1＋0＝0， 所以h(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以h(x)＜h(0)＝0．综上，a≤． 4 (3)取a＝，则∀x＞0，总有x－ex＋1＜0成立， 令t＝，则t＞1，t2＝ex，x＝2ln t， 故2t ln t＜t2－1，即2ln t＜t－对任意的t＞1恒成立． 所以对任意的n∈N*，有2ln ， 整理得到：ln (n＋1)－ln n＜， 故＋…＋ >ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln (n＋1)－ln n＝ln (n＋1)， 故不等式成立． 5 1．解决不等式恒(能)成立参数范围问题的策略 (1)求最值法，将恒(能)成立问题转化为利用导数求函数的最值问题； (2)分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f (x)max或a<f (x)min的形式，利用导数求出f (x)的最值，即得参数的取值范围． 2．函数参数的不等式的恒(能)成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论(端点效应＋必要性探路)． 3．导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 §6　利用导数解决不等式恒(能)成立问题 1．[高考变式]已知函数f (x)＝(e为自然对数的底数)． (1)求f (x)的最大值； (2)设a为整数，若ex≥ln (x＋a)在定义域上恒成立，求a的最大值； (3)已知n∈N*，证明：ln 2＋＋＋…＋＜. [解]　(1)函数f (x)＝的定义域为R，f ′(x)＝－， 因为当x＜0时，f ′(x)＞0，当x＞0时，f ′(x)＜0， 所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以当x＝0时，f (x)max＝f (0)＝1． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 §6　利用导数解决不等式恒(能)成立问题 (2)(切线不等式＋必要性探路)由(1)知，∀x∈R，≤1，即x＋1≤ex． 因此对任意x＞－1，ln (x＋1)≤x＜x＋1≤ex，当a≤1时，对任意x＞－a，x＋a≤x＋1， 则有ln (x＋a)≤ln (x＋1)＜ex， 于是当a≤1时，对任意x＞－a，ex－ln (x＋a)≥0恒成立． 当a＞1时，函数g(x)＝ex－ln (x＋a)的定义域为(－a，＋∞)，0∈(－a，＋∞)，必有g(0)＝1－ln a≥0，解得a≤e， 而a为整数，则a的最大值不大于2， 因为对任意x＞－1，ln (x＋1)≤x恒成立，则对任意x＞－2，有ln (x＋2)≤x＋1恒成立，当且仅当x＝－1时取等号， 又∀x∈R，x＋1≤ex恒成立，当且仅当x＝0时取等号， 于是对任意x＞－2，ln (x＋2)＜ex， 综上得当a≤2时，对任意x＞－a，ex－ln (x＋a)≥0恒成立，即整数amax＝2，所以整数