21 环节1 专题5 强基专题8 圆锥曲线中的双切线问题——同构法-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题五　解析几何 强基专题8　圆锥曲线中的双切线问题——同构法 环节1 1 类型1　彭赛列闭合定理的应用 【典例1】　(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2，0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由． 强基专题8　圆锥曲线中的双切线问题——同构法 [解]　(1)依题意，设抛物线C：y2＝2px(p＞0)，P(1，y0)，Q(1，－y0)， 因为OP⊥OQ，所以＝1－2p＝0，所以2p＝1， 所以抛物线C的方程为y2＝x． 因为M(2，0)，⊙M与x＝1相切，所以半径为1， 所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1． (2)法一(方程根的角度)： 设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)． 若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x＝1或x＝3， 若A1A2方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1，1)， 则过A1与⊙M相切的另一条直线方程为y＝1， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意； 若A1A2方程为x＝3，根据对称性不妨设A1(3，)，A2(3，－)， 则过A1与⊙M相切的直线A1A3为y－(x－3)， 又，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称，所以直线A2A3与⊙M相切． 若直线A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在， 则， 所以直线A1A2方程为y－y1＝(x－x1)，整理得x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0， 同理直线A1A3的方程为x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0， 直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0， 因为A1A2与⊙M相切，所以＝1， 整理得＝0，① A1A3与⊙M相切，同理＝0．② 所以y2，y3为方程＝0的两根，③ y2＋y3＝，y2·y3＝， M到直线A2A3的距离为：＝＝1， 所以直线A2A3与⊙M相切． 综上若直线A1A2，A1A3与⊙M相切，则直线A2A3与⊙M相切． 法二(直线(点)的角度)： 设＝x3． 当x1＝x2时，则A1A2方程为x＝1或x＝3， 若A1A2方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1，1)， 则过A1与⊙M相切的另一条直线方程为y＝1， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意； 若A1A2方程为x＝3，根据对称性不妨设A1(3，)，A2(3，－)， 则过A1与⊙M相切的直线A1A3为y－(x－3)， 又，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称，所以直线A2A3与⊙M相切． 当x1≠x2时，直线A1A2的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝． 由直线A1A2与⊙M相切得＝1， 化简得2y1y2＋(x1－1)x2－x1＋3＝0，同理，由直线A1A3与⊙M相切得 2y1y3＋(x1－1)x3－x1＋3＝0． 因为方程2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0同时经过点A2，A3，所以A2A3的直线方程为2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0，点M到直线A2A3距离为＝1． 所以直线A2A3与⊙M相切． 综上所述，若直线A1A2，A1A3与⊙M相切，则直线A2A3与⊙M相切． 1．双切线问题同构转化后的表达式多角度进行抽象：(1)从方程(根)的角度；(2)从直线(点)的角度． 2．双切线问题的求解思路 已知曲线外一点A1(x0，y0)，向二次曲线C引两条切线A1A2，A1A3，切点分别为A2，A3.设A2(x1，y1)，A3(x2，y2)， 第1步：分别写出切线A1A2，A1A3的方程(注意斜率)； 第2步：联立A1A2，A1A3与曲线C的方程，利用相切条件，得到代数关系式①，②，从而以A1的横或纵坐标为参数，进一步构造点A1，A3的横或纵坐标满足的同构方程③； 第3步：利用方程③中根与系数的关系判断，A2A3与曲线的位置关系，或完成其他问题． 强基专题8　圆锥曲线中的双切线问题——同构法 [跟进训练] 1．(2023·湖南新高考联盟4月模拟)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，且离心率为．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF． (1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标； (2)记△AFM，△BFM的面积分别为S1和S2，当|S1－S2|取最大值时，求直线AB的方程． 参考结论：点Q(x0，y0)为椭圆＝1上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为＝1． 强基专题8　圆锥曲线中的双切线问题——同构法 [解]　(1)证明：由题意可得b＝，