20 环节1 专题5 强基专题7 隐圆问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题五　解析几何 强基专题7　隐圆问题 环节1 1 类型1　利用圆的定义或垂直关系确定隐圆 【典例1】　(1)(2023·北京通州模拟)在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足||＝||＝＝0，A为线段BC中点，P为圆(x－3)2＋(y－4)2＝4任意一点，则||的取值范围是(　　) A．[2，8]　　　B．[3，8]　　　C．[2，7]　　　D．[3，7] (2)(2023·河南开封二模)已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且||＝1，则的取值范围是(　　) A． 　　B．　　C．[1，4]　　D．[1，7] √ √ 强基专题7　隐圆问题 (1)A　(2)B　[(1)由＝0，则， 又||＝||＝，且A为线段BC中点， 则||＝1，所以A为圆O：x2＋y2＝1任意一点． 设圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为M，则||＝5， 又||＝5＞1＋2，所以圆O与圆M相离， 所以||的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离， 所以||max＝||＋||＋||＝5＋1＋2＝8， ||min＝||－||－||＝5－1－2＝2， 所以||的取值范围为[2，8]．故选A． (2)如图构建平面直角坐标系，且A，B，C， 所以P(x，y)在以A为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为＋y2＝1，而， 故＝x2－x＋y2－y＝， 综上，只需求出定点与圆＋y2＝1上点距离平方的范围即可，而圆心A与的距离d＝，故定点与圆上点的距离范围为，所以．故选B．] 题目中若已知动点到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定值，或者得到动点与两定点的连线的夹角为直角，则可以得到动点的轨迹为圆． 强基专题7　隐圆问题 [跟进训练] 1．(2023·河北唐山一模)已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则||的最大值为(　　) A．8　　　B．12　　　C．6　　　D．9 B　[由题意知，M(4，0)，圆M的半径为4，设AB的中点D(x，y)，则ND⊥MD，即＝0，又＝(x－2，y)，＝(x－4，y)， 所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即点D的轨迹方程为E：(x－3)2＋y2＝1，圆心E(3，0)，半径为1，所以|PD|的最大值为|PE|＋1＝＋1＝6， 因为||＝2||，所以||的最大值为12．故选B．] √ 强基专题7　隐圆问题 2．(2023·江西吉安一模)已知直线l1：x＋my－3m－1＝0与l2：mx－y－3m＋1＝0相交于点M，线段AB是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的一条动弦，且|AB|＝2，则的最小值为(　　) A．6－4　　B．3－　　C．5＋ 　　D．－1 √ A　[由圆的方程知：圆心C(－1，－1)，半径r＝2， 由l1：x＋my－3m－1＝0得(x－1)＋m(y－3)＝0，∴l1恒过定点E(1，3)． 由l2：mx－y－3m＋1＝0得m(x－3)＋(1－y)＝0，∴l2恒过定点F(3，1)． 由直线l1，l2方程可知：l1⊥l2，∴ME⊥MF，即＝0， 强基专题7　隐圆问题 设M(x，y)，则＝(1－x，3－y)，＝(3－x，1－y)， ∴＝(1－x)(3－x)＋(3－y)(1－y)＝0，整理可得(x－2)2＋(y－2)2＝2， 即点M的轨迹是以G(2，2)为圆心，为半径的圆， 又直线l2斜率存在，∴M点轨迹不包含(3，3)，(1，3)，(3，1)； 若点D为弦AB的中点，则＝2，位置关系如图： 连接CD，由|AB|＝2，知|CD|＝＝1， 则|MD|min＝|MC|min－|CD|＝|CG|－－1 ＝－1＝2－1， ∴＝()()＝＋()－3≥(2－1)2－3＝6－4(当M在(1，1)处取等号)，即的最小值为6－4．故选A．] 类型2　阿波罗尼斯圆 【典例2】　(1)(多选)(2023·河北衡水模拟)已知动点P到原点O与A(2，0)的距离之比为2，动点P的轨迹记为C，直线l：3x－4y－3＝0，则下列结论中正确的是(　　) A．C的方程为＋y2＝ B．动点P到直线l的距离的取值范围为 C．直线l被C截得的弦长为 D．C上存在三个点到直线l的距离为 (2)(2023·浙江金华模拟)已知O(0，0)，A(3，0)，直线l上有且只有一个点P满足|PA|＝2|PO|，写出满足条件的其中一条直线l的方程_________________． √ √ x＝1(答案不唯一)　 强基专题7　隐圆问题 (1)AD　(2)x＝1(答案不唯一)　[(1)设P(x，y)，因为|PO|＝2|PA|，所以＝2， 所以C的方程为＋y2＝，故A正确； 因为圆心C到直线l：3x－4y－3＝0的距离d＝1＜r＝， 所以直线l与圆C相交，且弦长为2，故C错误； 动点P到直线l