19 环节1 专题5 §5 圆锥曲线中的计算、证明、存在性问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题五　解析几何 §5　圆锥曲线中的计算、证明、存在性问题 环节1 1 【典例1】　(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 能力考点1　圆锥曲线中的计算问题 [解]　(1)因为点A(2，1)在双曲线C：＝1(a＞1)上，所以＝1，解得a2＝2，即双曲线C：－y2＝1． 易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y，可得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0， 所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0⇒m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以由kAP＋kAQ＝0，可得＝0， 3 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以2k×＋(m－1－2k)×－4(m－1)＝0， 化简得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0， 所以k＝－1或m＝1－2k， 当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1， 过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1． 4 (2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π， 因为tan ∠PAQ＝2，所以tan (β－α)＝2， 即tan 2α＝－2， 即tan2α－tan α－＝0，解得tan α＝， 于是，直线AP：y＝(x－2)＋1， 直线AQ：y＝－(x－2)＋1， 联立 5 消去y，可得x2＋2(1－2)x＋10－4＝0， 因为方程有一个根为2，所以xP＝，yP＝， 同理可得，xQ＝，yQ＝． 所以PQ：x＋y－＝0，|PQ|＝， 点A到直线PQ的距离d＝，故S△PAQ＝． 6 利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题：联立→消元→根与系数的关系，注意判别式Δ＞0． 能力考点1 能力考点3 能力考点2 专题限时集训 §5　圆锥曲线中的计算、证明、存在性问题 (2023·湖北八市联考)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点，P，Q是椭圆C上的两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线OP与OQ的斜率之积为－(O为坐标原点)， 点D为射线OP上一点，且＝，若线段DQ与椭圆C交于点E，设＝λ(λ>0)．①求λ值；②求四边形OPEQ的面积． 能力考点1 能力考点3 能力考点2 专题限时集训 §5　圆锥曲线中的计算、证明、存在性问题 [解]　(1)依题意有＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝1，故椭圆C的方程为＝1． (2)①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因，则D(2x1，2y1)． 因为P，Q均在椭圆上，则＝1． 又kOP·kOQ＝－，则＝－，即3x1x2＋4y1y2＝0． 因为＝λ，则(xE－x2，yE－y2)＝λ(2x1－xE，2y2－yE)， 可得E． 9 又E在椭圆上，则 ＋4λ＝(1＋λ)2，4λ2＋1＝(1＋λ)2，解得λ＝． ②由①，可知得，S△PEQ＝S△QPD＝S△OPQ，则S四边形OPEQ＝S△OPQ． 当直线PQ斜率为0时，易知kOP＝－kOQ，又kOP·kOQ＝－，则kOP＝±． 根据对称性不妨取kOP＝，y1>0， 由，得 则P，Q，此时S△OPQ＝． 当直线斜率不为0时，设PQ的方程为x＝my＋t， 10 将直线方程与椭圆方程联立有：，消去x， 得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0． 因为Δ＞0，则由根与系数的关系知，有y1＋y2＝，y1y2＝． 因为3x1x2＋4y1y2＝3(my1＋t)(my2＋t)＋4y1y2＝0，(3m2＋4)y1y2＋3mt(y1＋y2)＋3t2＝0，(3m2＋4)＋3t2＝0，∴2t2－3m2－4＝0，2t2＝3m2＋4． |PQ|＝＝ ＝＝＝2． 又原点到直线PQ距离为，则此时S△OPQ＝×2． 综上可得四边形OPEQ的面积为． 11 【典例2】　(2023·新高考Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3． 能力考点2　圆锥曲线中的证明问题 [解]　(1)设点P的坐标为(x，y)，依题意得|y|＝， 化简得x2＝y－，所以W的方程为x2＝y－． (2)证明：设矩形ABCD的三个顶点A，B，C在W上，则AB⊥BC，矩形ABCD的周长为2(|AB|＋|BC|)．设B，依题意知直线AB不与两坐标轴平行， 故可设直线AB的方程为y－