18 环节1 专题5 §4 圆锥曲线中的定点、定值、定直线-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题五　解析几何 §4　圆锥曲线中的定点、定值、定直线 环节1 1 【典例1】　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点． 能力考点1　定点问题 [解]　(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1，因为椭圆过A(0，－2)，B，则解得m＝，n＝，所以椭圆E的方程为＝1． (2)证明：因为A(0，－2)，B，所以直线AB的方程为y＋2＝x． ①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在，直线x＝1，代入＝1， 可得M，N，代入直线AB的方程y＝x－2， 可得T，由得到H．求得直线HN的方程为y＝x－2，过点(0，－2)． 3 ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在，设y＋2＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0，Δ>0，可得 联立 可得T，H(3y1＋6－x1，y1)．可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 又x1y2＋x2y1＝，代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0，显然成立， 综上，可得直线HN过定点(0，－2)． 4 动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 能力考点1 能力考点3 能力考点2 专题限时集训 §4　圆锥曲线中的定点、定值、定直线 1．(2023·河北石家庄一模)已知点P(4，3)在双曲线C：＝1(a>0，b>0)上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，|PM|·|PN|＝4． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个，证明：直线l过定点． ①k1＋k2＝1；②k1k2＝1． 能力考点1 能力考点3 能力考点2 专题限时集训 §4　圆锥曲线中的定点、定值、定直线 [解]　(1)由题意可知：点P(4，3)在双曲线上，所以＝1． 过P做x轴的平行线y＝3，与y＝±x相交于M，N两点，记M，N， 所以|4－|·|4＋|＝|16－|＝a2||＝a2＝4，所以a＝2， 代入＝1，可知b＝，所以双曲线的方程为＝1． 7 (2)证明：选①：由题意可知，直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程 得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0， 所以3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)>0，即m2＋3－4k2>0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝． 由条件k1＋k2＝1，所以＝1， 所以(x2－4)(kx1＋m－3)＋(x1－4)(kx2＋m－3)＝(x1－4)(x2－4)， 整理可得2kx1x2＋(m－3－4k)(x1＋x2)－8(m－3)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16， 由根与系数的关系得m2＋2km－8k2－6k－6m＋9＝0， 8 即(m－2k－3)(m＋4k－3)＝0， 解得m＝2k＋3或m＝－4k＋3． 当m＝2k＋3时，y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3， 则直线l过定点(－2，3)． 当m＝－4k＋3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3， 则直线l过定点P(4，3)，不合题意． 综上可得，直线l过定点(－2，3)． 9 选②：由题意可知，直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程 得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0， 所以3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)>0， 即m2＋3－4k2>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝． 由条件k1k2＝1，得＝1，即＝1， 10 整理可得＝1． 由根与系数的关系，整理可得7m2＋32km＋16k2－18m－9＝0， 即(7m＋4k＋3)(m＋4k－3)＝0，解得m＝－或m＝－4k＋3． 当m＝－时，y＝kx＋m＝kx－＝k， 则直线l过定点； 当m＝－4k＋3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3， 则直线l过定点P(4，3)，不合题意． 综上可得，