17 环节1 专题5 §3 圆锥曲线中的最值、范围问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题五　解析几何 §3　圆锥曲线中的最值、范围问题 环节1 1 【典例1】　(2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F， 点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3． (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 能力考点1　利用不等式求最值或范围 [解]　(1)因为抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x． (2)法一(直线方程横截式)： 设， 直线MN：x＝my＋1，由，得y2－4my－4＝0， ∴Δ＞0，y1y2＝－4，kMN＝，kAB＝， 直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程，得y2－·y－8＝0， 3 Δ＞0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1， 所以kAB＝． 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为α，β，所以kAB＝tan β＝， 若要使α－β最大，则β∈，设kMN＝2kAB＝2k＞0， 则tan (α－β)＝， 当且仅当＝2k即k＝时，等号成立，所以当α－β最大时，kAB＝， 设直线AB：x＝y＋n，代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0， Δ＞0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4，所以直线AB：x＝y＋4． 4 法二(直线方程点斜式)： 由题可知，直线MN的斜率存在．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 直线MN：y＝k(x－1)，由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以x1x2＝1，y1y2＝－4．直线MD：y＝(x－2)， 代入抛物线方程可得：x1x3＝4，同理，x2x4＝4． 代入抛物线方程可得：y1y3＝－8，所以y3＝2y2， 同理可得y4＝2y1，由斜率公式可得：kAB＝kMN． 5 若要使α－β最大，则β∈，设kMN＝2kAB＝2k＞0， 则tan (α－β)＝， 当且仅当＝2k即k＝时，等号成立， 所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n， 代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0， Δ＞0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4， 所以直线AB：x＝y＋4． 6 构造不等式求最值或范围的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系． (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式求最值的5种典型情况： ①s＝(先换元，注意“元”的范围，再利用基本不等式)． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 §3　圆锥曲线中的最值、范围问题 ②s＝(基本不等式)． ③s＝(基本不等式)． ④s＝(先分离参数，再利用基本不等式)． ⑤s＝(上、下同时除以k2，令t＝k＋换元，再利用基本不等式)． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 §3　圆锥曲线中的最值、范围问题 1．已知椭圆C：＋y2＝1与y轴正半轴交于点D，直线l1：y＝－x－2与椭圆C交于A，B两点，直线DA与直线DB的斜率分别记为k1，k2，且k1＋k2＝λ． (1)求λ的值； (2)若直线l2与椭圆相交于M，N两点，直线DM，DN的斜率分别记作k3，k4，若k3＋k4＝λ，且点D在以MN为直径的圆内，求直线l2的斜率k的取值范围． 能力考点1 能力考点2 专题限时集训 §3　圆锥曲线中的最值、范围问题 [解]　(1)由，得5x2＋16x＋12＝0，解得x＝－2或x＝－， 当x＝－2时，y＝0；当x＝－时，y＝－2＝－， 不妨记A(－2，0)，B， 因为D(0，1)， 所以k1＋k2＝kDA＋kDB＝＝2，所以λ＝2． 10 (2)若直线l2的斜率不存在，则MN垂直于x轴，则D点不在以MN为直径的圆内，不合题意．若直线l2的斜率存在，设直线l2为y＝kx＋m， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ＝64k2m2－16(m2－1)(1＋4k2)＞0，得1＋4k2－m2＞0，则 因为k3＋k4＝2，所以＝2，所以＝2， 11 所以(2k－2)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0，所以(2k－2)·＋(m－1)·＝0， (k－1)(m2－1)－km(m－1)＝0，由题意可知m≠1，所以解得m＝k－1， 所以1＋4k2－(k－1)2＞0，即3k2＋2k＞0，解得k＜－或k＞0． 因为D点在以MN为直径的圆内， 所以＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)·x1x2＋k(k－2)(x1＋x2)＋(k－2)2＜0， 所以(1＋k2)·＋k(k－2)·