14 环节1 专题4 强基专题6 概率中的函数、数列问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题四　概率与统计 强基专题6　概率中的函数、数列问题 环节1 1 类型1　概率中的函数问题 【典例1】　(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)． (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1； (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义． 强基专题6　概率中的函数、数列问题 [解]　(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1． (2)法一(常规求导)： p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0， 令f (x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f ′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1， f ″(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时， f ′(x)≤f ′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0， ∴f (x)在(0，1]上单调递减，注意到f (1)＝0， ∴x＝1，即p＝1， 当E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1时，注意到f ′(0)＝p1－1＜0， f ′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0， ∴存在唯一的x0∈(0，1)使f ′(x0)＝0， 且当0＜x＜x0时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减； 当x0＜x＜1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增， 注意到f (0)＝p0＞0，f (1)＝0，∴f (x0)＜f (1)＝0． ∴f (x)在(0，x0)上有一个零点x1，另一个零点为1，∴p＝x1＜1． 法二(巧妙因式分解)： 由题意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3， 由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x⇒p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0， ∴p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0⇒p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)(x＋1)＝0， (x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0， 令f (x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，f (x)图象的对称轴为x＝－＜0， 注意到f (0)＝－p0＜0，f (1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1， 当E(X)≤1，f (1)≤0，f (x)的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1， 当E(X)＞1，f (1)＞0，f (x)的正实根x0＜1，原方程的最小正实根p＝x0＜1． (3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能． 概率统计问题与函数的交汇，综合性较强，一是借助二次函数、分段函数的性质，利用单调性求均值、方差的最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解． 强基专题6　概率中的函数、数列问题 [跟进训练] 1．(2023·广东东莞模拟)现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p(0＜p≤0.4)，且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠毁；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q(0＜q＜1)，且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁． (1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于0.936； (2)若p＋q＝1，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？说明理由． 强基专题6　概率中的函数、数列问题 [解]　(1)因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立， 所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用X表示命中目标飞行物的炮弹数，则X～B(3，q)(X服从二项分布)， 则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝q0(1－q)3≥0.963， 即1－(1－q)3≥0.936，则(1－q)3≤0.064＝0.43，即1－q≤0.4，则q≥0.6， 又0＜q＜1，故0.6≤q＜1，