11 环节1 专题3 强基专题5 立体几何中的动态问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题三　立体几何 强基专题5　立体几何中的动态问题 环节1 1 类型1　空间位置关系的判断 【典例1】　(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC­-A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ＝1时，三棱锥P­-A1BC的体积为定值 C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P √ √ 强基专题5　立体几何中的动态问题 BD　[＝λ＋μ(0≤λ≤1，0≤μ≤1)． 对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图1所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝，不是定值，A错误； 对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图2所示， 则＝＝S△PBC×S△PBC＝×1×1＝， 为定值，故B正确； 对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1， 连接DD1，A1B(图略)，则当λ＝时，点P在线段DD1上运动， 假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即＋(1－μ)2＋＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误； 法一：对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK(图略)，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确．综上，选BD． 法二：对于选项D，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF， 则当μ＝时，点P在线段EF上运动， 以点C1为原点建立如图3所示的空间直角坐标系C1xyz， 则B(0，1，1)，B1(0，1，0)，A1，P， 所以，若A1B⊥平面AB1P，则A1B⊥B1P，所以－＝0，解得λ＝1，所以只存在一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，此时点P与点F重合，故D正确．综上，选BD．] 本题以正三棱柱为载体，融向量知识于其中，借助参数λ，μ的变化，将空间点、线、面的位置关系体现得淋漓尽致，鉴于正三棱柱的图形特征，将动态问题坐标化成为解答本题的首选． 强基专题5　立体几何中的动态问题 [跟进训练] 1．(多选)(2023·山东济南二模)如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝，E，F，G分别是线段AD，CD，BC的中点，将△ABD沿直线BD折起得到三棱锥 A­BCD，则在该三棱锥中，下列说法正确的是(　　) A．直线EF∥平面ABC B．直线BE与DG是异面直线 C．直线BE与DG可能垂直 D．若EG＝AB，则二面角A­-BD­-C的大小为 √ √ √ 强基专题5　立体几何中的动态问题 ABD　[对于A，∵E，F分别为AD，CD中点，∴EF∥AC， ∵AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC，A正确； 对于B，∵BE∩平面BCD＝B，DG⊂平面BCD，B∉DG， ∴BE与DG为异面直线，B正确； 对于C，设菱形ABCD的边长为2，又∠BAD＝，则BD＝2， ∵， ∴＝－＝－4＋×4××4×＝－2＋， ∵＝4cos 〈〉∈[－4,4]，∴≠0， 即BE与DG不可能垂直，C错误； 对于D，取BD中点O，连接AO，CO，OG，OE， ∵△ABD，△CBD为等边三角形，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC即为二面角A­-BD-­C的平面角，设菱形ABCD的边长为2，则OA＝OC＝， ∵)－)－)＝，∴＋1－cos ∠AOC＝cos ∠AOC，又EG＝AB， ∴cos ∠AOC＝，解得cos ∠AOC＝，∴二面角A­-BD­-C的大小为，D正确． 故选ABD．] 9 类型2　动点轨迹问题 【典例2】　(1)(2023·北京石景山一模)已知正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给出下列三个命题： ①若点P总满足PD1⊥DC1，则动点P的轨迹是一条直线； ②若点P到直线BB1与到平面CDD1C1的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线； ③若点P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆． 其中正确的命题个数是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 (2)(2023·湖北武汉二调)设点A，B是半径为3的球O表面上两定点，且∠AOB＝60°，球O表面上动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹长度为(　　) A．π　　B．π　　C．π　　D．π √ √ 强基专题5　立体几何中的动态问题 (1)C　(2)D　[(1)对于①，如图在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，连接BD1，CD1， 在正方体中，因为四边形CDD1C1为正方形，所以DC1⊥CD1，又BC⊥平面CDD1C1，DC1⊂平面CDD1C1，所以BC⊥DC1