09 环节1 专题3 强基专题4 立体几何中的截面、交线问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题三　立体几何 强基专题4　立体几何中的截面、交线问题 环节1 1 【典例】　(1)(多选)(2023·湖北省二模)已知在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有(　　) A．截面多边形可能是五边形 B．若截面与直线AC1垂直，则该截面多边形为正六边形 C．若截面过AB1的中点，则该截面不可能与直线A1C平行 D．若截面过点A1，则该截面多边形的面积为 (2)(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD­-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°．以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． √ √ √ 　 强基专题4　立体几何中的截面、交线问题 (1)ABD　(2)　[(1)对于B，如图1所示，在正方体中易证AC1⊥平面A1BD，分别取棱DD1，D1A1，A1B1，B1B的中点G，H，I，J，由中位线的性质可得平面A1BD∥平面EFGHIJ，故AC1⊥平面EFGHIJ，而六边形EFGHIJ显然为正六边形，故B正确； 对于C，如图2所示，连接AC，BD交于O点，记平面AD1和平面AB1的中心分别为G，H， 易知G，H，E，F共面(即符合要求的截面)． 连接A1O，CO交GH，EF于N，M两点， 由中位线性质可得N，M分别为A1O，CO的中点， 故A1C∥MN，因为A1C⊄平面GHEF， MN⊂平面GHEF，所以A1C∥平面GHEF， 所以C错误； 对于A，D，如图3所示，延长EF分别与直线AB，AD的延长线交于P，Q两点，连接A1P，A1Q交棱B1B，D1D于S，T，则五边形A1SEFT为所得截面，A正确；＝－S△SEP－S△TQF＝，故D正确． 故选ABD． 5 (2)如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2．分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝．由题意知点G，H分别是BB1，CC1与球面的交点． 在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝．连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以点M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线． 由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°， 所以的长为×2π×．] 6 1．作几何体截面的方法 (1)利用平行直线找截面； (2)利用相交直线找截面． 2．找交线的方法 (1)线面交点法：各棱所在直线与截平面的交点； (2)面面交线法：各侧(底)面与截平面的交线． 强基专题4　立体几何中的截面、交线问题 [跟进训练] 1．(2023·广东茂名二模)如图所示，正三棱锥P­-ABC的底面边长为2，点P到平面ABC的距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的，过点M作一个平面，使其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥P­-ABC表面交线的总长为(　　) A．　　B．　　C．　　D． √ 强基专题4　立体几何中的截面、交线问题 B　[因为三棱锥P­-ABC为正三棱锥，所以△ABC为等边三角形并且边长为2，即AB＝AC＝BC＝2． 又因为三棱锥P­-ABC为正三棱锥，因此过点P作底面ABC的垂线，垂足为O，则点O为△ABC的中心． 过点B作AC的垂线，垂足为H，连接PH，OA． 因为△ABC为等边三角形，所以AH＝CH＝1， BH＝， OH＝BH＝． 在Rt△AHO中，AO＝． 9 又因为PO＝2，在Rt△AOP中， AP＝，故AP＝BP＝CP＝． 因为三棱锥P­-ABC为正三棱锥，因此△APC，△APB，△BPC均为等腰三角形． 又点M到平面ABC的距离为点P到平面ABC距离的，可取点M为PH的三等分点(靠近点P)， 过点M作Q1Q2∥AC交PC于点Q1，交PA于点Q2．过点Q1作Q1Q4∥BP交BC于点Q4，过点Q4作Q3Q4∥AC交AB于点Q3，连接Q3Q2． 所以Q1Q2∥AC∥Q3Q4，则Q1，Q2，Q3，Q4四点共面． 10 因为Q1Q4∥BP，Q1Q4⊂平面Q1Q2Q3Q4，BP⊄平面Q1Q2Q3Q4， 所以BP∥平面Q1Q2Q3Q4． 同理，得AC∥平面Q1Q2Q3Q4， 所以平面Q1Q2Q3Q4即为过点M且平行于直线PB和AC的平面． 利用三角形相似可得：Q1Q2＝Q3Q4＝AC＝， Q2Q3＝Q1Q4＝BP＝．这个平面与三棱锥表面交线的总长为Q1Q2＋Q2Q3＋Q3Q4＋Q1Q4＝2×＋2×． 故选B．] 11 2．已知正三棱台ABC­-A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为_____