08 环节1 专题3 强基专题3 与球有关的“切”“接”“截”问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题三　立体几何 强基专题3　与球有关的“切” “接”“截”问题 环节1 1 类型1　外接球问题 【典例1】　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π　　　 B．128π C．144π D．192π (2)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________． √ 2 强基专题3　与球有关的“切”“接”“截”问题 (1)A　(2)2　[(1)由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A． (2)设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r， 则2r＝＝2，解得r＝． 设三棱锥S-­ABC的外接球球心为O，连接OA，OO1， 则OA＝2，OO1＝SA， ∵OA2 ＝ ＋ O1 A2，∴4＝3＋SA2，解得SA＝2．] 求解空间几何体的外接球问题的策略 (1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径； (2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的； (3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解． 强基专题3　与球有关的“切”“接”“截”问题 √ [跟进训练] 1．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．5π　　　B．π　　　C．π　　　D．π D　[由三棱柱所有棱的长a＝1，可知底面为正三角形， 底面三角形的外接圆直径2r＝， 所以r＝，设外接球的半径为R，则有R2＝r2＋，所以该球的表面积S＝4πR2＝π，故选D．] 强基专题3　与球有关的“切”“接”“截”问题 √ 2．(2023·四川绵阳三模)已知球O的体积为36π，圆锥SO1的顶点S及底面圆O1上所有点都在球面上，且底面圆O1的半径为2，则该圆锥的侧面积为(　　) A．6π B．4π或6π C．8π或4π D．8π 强基专题3　与球有关的“切”“接”“截”问题 7 C　[由球O的体积为36π，得V球＝πR3＝36π，所以R＝3． 如图1， 当SO1＝SO＋OO1时，有 ＝OA2－O1A2＝32－(2)2＝1， 所以OO1＝1，SO1＝SO＋OO1＝4， 又因为SA2＝＋O1A2＝42＋(2)2＝24，所以SA＝2， 因为圆锥的侧面展开图为扇形，所以该圆锥的侧面积为 S＝π·O1A·SA＝π×2×2＝8π． 强基专题3　与球有关的“切”“接”“截”问题 8 如图2， 当SO1＝SO－OO1时，有＝OA2－O1A2＝32－(2)2＝1， 所以OO1＝1，SO1＝SO－OO1＝2， 又因为SA2＝＋O1A2＝22＋(2)2＝12，所以SA＝2， 所以该圆锥的侧面积为S＝π·O1A·SA＝π×2×2 ＝4π．故选C．] 强基专题3　与球有关的“切”“接”“截”问题 9 3．(2023·重庆二模)如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为，则该圆台的侧面积为(　　) A．60π 　　　B．75π　　　C．35π　　　D．35π √ 强基专题3　与球有关的“切”“接”“截”问题 D　[设球的半径为R，则，所以R＝5， 取圆台的轴截面ABCD，如图所示，设圆台的下、上底面圆心 分别为点E，F，则E，F分别为AB，CD的中点， 连接OE，OF，OA，OB，OC，OD，则OA＝OB＝OC＝OD＝5， 由垂径定理可知，OE⊥AB，OF⊥CD， 所以OE＝＝3，OF＝＝4， 因为OE＝DF，OA＝DO，AE＝OF，所以Rt△OAE≌Rt△DOF， 所以∠OAE＝∠DOF，所以∠DOF＋∠AOE＝∠OAE＋∠AOE＝90°， 所以∠AOD＝90°，则AD＝＝5， 因此，圆台的侧面积为π(3＋4)×5＝35π． 故选D．] 强基专题3　与球有关的“切”“接”“截”问题 11 4．已知△ABC和△ABD均为边长为2的正三角形，沿公共边AB折叠成60°的二面角，若A，B，C，D均在球O的球面上，则球O的表面积为(　　) A． 　　B． 　　 C． 　　D． √ 强基专题3　与球有关的“切”“接”“截”问题 12 B　[如图，设△ABC与△ABD的