06 环节1 专题2 强基专题2 数列与不等式的综合问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题二　数列 强基专题2　数列与不等式的综合问题 环节1 1 类型1　先求和后放缩证明不等式 【典例1】　(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋…＋<2． 强基专题2　数列与不等式的综合问题 [解]　(1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴＝1，又∵是公差为的等差数列， ∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，∴当n≥2时，Sn－1＝， ∴an＝Sn－Sn－1＝， 整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，即，n≥2，∴an＝a1××…×＝1××…×，n≥2， 显然对于n＝1也成立，∴{an}的通项公式为an＝． (2)证明：＝2， ∴＋…＋＝2×＝2×＜2． 对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式． 强基专题2　数列与不等式的综合问题 [跟进训练] 1．(2023·石家庄市高中毕业班质检)已知等差数列{an}的各项均为正数，公差 d＜3，若分别从表中第一、二、三行中各取一个数，依次作为a3，a4，a5，且a3，a4，a5中任何两个数都不在同一列．   第一列 第二列 第三列 第一行 3 5 6 第二行 7 4 8 第三行 11 12 9 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜． 强基专题2　数列与不等式的综合问题 [解]　(1)由题意可知，数列{an}为递增数列， 又公差d＜3，所以a3＝5，a4＝7，a5＝9， 所以an＝2n－1． (2)证明：bn＝，所以Tn＝＋…＋＝1＋＝，所以Tn＜． 类型2　先放缩后求和证明不等式 【典例2】　(2023·湖北黄冈模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：1≤Sn<2． 强基专题2　数列与不等式的综合问题 [解]　(1)由题意知an≠0，所以＋2n，即＝2n， 从而＋…＋＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋1＝n(n－1)＋1，则an＝． 显然a1＝1满足上式，所以an＝． (2)证明：由(1)知an>0，所以Sn≥a1＝1．又因为an＝ (n≥2)，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an≤1＋＋…＋＝2－<2，所以1≤Sn<2． 8 在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若数列不易求和，可根据数列的项的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明． 常用放缩： (1)(n≥2)； (2)(n≥2)； (3)； (4)2()＝＝2()． 强基专题2　数列与不等式的综合问题 [跟进训练] 2．(2023·山东新高考联盟模拟)在如图所示的平面四边形ABCD中，△ABD的面积是△CBD面积的两倍，数列{an}满足a1＝2，当n≥2时，＝(an－1＋2n-1)＋(an－2n)，记bn＝． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)求证：<． 强基专题2　数列与不等式的综合问题 [解]　(1)如图所示，过A作AM⊥BD，垂足为M，过C作CN⊥BD，垂足为N，连接AC，交BD于点E， 由题意可得：S△ABD＝2S△CBD，则AM＝2CN， 且△AME∽△CNE，则＝2， 可得：＝， 11 ∵B，E，D三点共线，则＝λ ＝(an－1＋2n-1)＋(an－2n)， 可得则an－2n＝2(an－1＋2n-1)，n≥2， 整理得＝2，n≥2，即bn－bn－1＝2，n≥2， 故数列{bn}是以＝1为首项，公差为2的等差数列， 则bn＝1＋2(n－1)＝2n－1． 12 (2)证明：由(1)可得：当n＝1时＝1<； 当n≥2时，可得＝， 则＝1＋． 综上所述． 13 类型3　与数列有关的不等式恒成立问题 【典例3】　(2023·湖南岳阳二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋2n+1． (1)证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，若对任意正整数n，不等式bn<恒成立，求实数m的取值范围． 强基专题2　数列与不等式的综合问题 [解]　(1)由Sn＋1＝2Sn＋2n+1，得＋1，又， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以＋(n－1)＝，即Sn＝(2n－1)·2n-1． 所以当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)·2n-1－(2n－3)·2n-2＝(2n＋1)·2n-2， 又a1＝1不满足上式， 所以an＝ 15 (2)由(1)知Sn＝(2n－1)·2n-1， 所以bn＝， 所以bn＋1－bn＝． 所以当n≤2时，bn＋1>bn； 当n≥3时，bn＋1<bn，即b1<b2<b3>b4>b5>…， 所以bn的最大值为b3＝， 依题意，即m2－m－2>0，解得m