05 环节1 专题2 强基专题1 数列中的奇、偶项问题-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题二　数列 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 环节1 1 类型1　条件明确奇、偶项型 【典例1】　(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． [解]　(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝ 所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5． 因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3， 所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*． 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 (2)因为an＋1＝ 所以k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1， 即a2k＝a2k－1＋1， ① a2k＋1＝a2k＋2， ② a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1， ③ 所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； ②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3， 又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20) ＝10＋×3＋20＋×3＝300． 求解此类问题的关键是理解递推关系，求解时可适当注意原数列中奇、偶项间的内在联系． 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 [跟进训练] 1．(2023·江苏南通基底大联考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝求数列{bn}的前14项的和． [解]　(1)证明：因为Sn＝2an－n＋1，① 则Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)＋1，② ②－①，得an＋1＝2an＋1－2an－1，即an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即＝2． 令Sn＝2an－n＋1中n＝1，得S1＝a1＝2a1－1＋1，解得a1＝0，则a1＋1＝1， ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列． 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 (2)由(1)知an＋1＝2n-1，则an＝2n-1－1， ∴bn＋1＝且b1＝a2＝22-1－1＝1， ∴当n为偶数时，bn＋1＝2n-1－1－bn，即bn＋bn＋1＝2n-1－1， ∴b1＋b2＋…＋b14＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b12＋b13)＋b14 ＝1＋21－1＋23－1＋…＋211－1＋212－1 ＝1＋－6＋212－1＝＝6 820． 类型2　形如an·an＋1 ＝f (n) 型 【典例2】　在数列{an}中，已知a1＝1，an·an＋1＝，记Sn为{an}的前n项和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*． (1)判断数列{bn}是不是等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{an}的通项公式； (3)求Sn． 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 [解]　(1)因为an·an＋1＝，所以an＋1·an＋2＝，所以， 即an＋2＝an．因为bn＝a2n＋a2n－1，所以， 所以数列{bn}是公比为的等比数列． 因为a1＝1，a1·a2＝，所以a2＝，b1＝a1＋a2＝，所以bn＝，n∈N*． (2)由(1)可知an＋2＝an，所以a1，a3，a5，…，a2n－1是以a1＝1为首项，为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n是以a2＝为首项，为公比的等比数列， 所以a2n－1＝，a2n＝，所以an＝ (3)因为S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝＝3－， 又S2n－1＝S2n－a2n＝3－＝3－， 所以Sn＝ an＋1·an＝f (n)，于是an＋1·an＋2＝f (n＋1)，从而．特别地，若f (n)＝a·qn(a，q为非零常数)，则＝q，即数列{an}的奇数项和偶数项分别构成一个公比为q的等比数列． 强基专题1　数列中的奇、偶项问题 [跟进训练] 2．已知数列{an}满足a1＝3，anan＋1＝9×22n-1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝________． 3×2n-1　[由 anan＋1＝9×22n-1，得 an＋1an＋2＝9×22n+1， 以上两式相比，得＝4，由a1a2＝9×21，a1＝3得a2＝6， 所以数列是首项为3，公比为4的等比数列，a2n－1＝3×22n-2， 数列是首项为6，公比为4的等比数列，a2n＝6×22n-2＝3×22n-1， 综上，数