04 环节1 专题2 §2 数列的通项与求和-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题二　数列 §2　数列的通项与求和 环节1 1 【典例1】　(2023·全国甲卷)已知数列{an}中，a2＝1，设Sn为数列{an}的前n项和，2Sn＝nan． (1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn． 基础考点1　an与Sn的递推关系的通项与求和 [解]　(1)当n＝1时，2S1＝a1，解得a1＝0， 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，∴2an＝nan－(n－1)an－1， ∴(n－1)an－1＝(n－2)an，当n≥3时，可得， ∴an＝×…××a2＝n－1，当n＝2或n＝1时，a1＝0，a2＝1适合上式， ∴{an}的通项公式为an＝n－1． (2)由(1)可得， ∴Tn＝＋…＋， ∴Tn＝＋…＋， ∴Tn＝＋…＋＝＝1－， ∴Tn＝2－． 3 由递推关系求通项公式的方法 (1)an＋1＝pan＋q(p≠1)型：通常构造an＋1＋x＝p(an＋x)求an. (2)an＋1＝pan＋f (n)(p≠0，1)型：通常构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)] 求an. (3)Sn与an的递推关系型：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，求an；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 §2　数列的通项与求和 1．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2，an＋1 ＝4an－3an－1(n≥2)，则下面说法正确的是(　　) A．数列{an＋1－an}为等比数列 B．数列{an＋1－3an}为等差数列 C．an＝3n-1＋1 D．Sn＝ √ √ √ 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 §2　数列的通项与求和 ABD　[因为an＋1＝4an－3an－1， 所以an＋1－an＝3(an－an－1)或an＋1－3an＝an－3an－1， 所以数列{an＋1－an}是公比为3的等比数列，故A正确； 数列{an＋1－3an}为常数列，即为公差为0的等差数列，故B正确； 由A的分析可得：an＋1－an＝3n-1，且an＋1－3an＝－1， 所以an＝，故C错误； Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋…＋(1＋3＋32＋…＋3n-1)＋ ，故D正确．故选ABD．] 6 2．[高考变式]数列{an}中，其前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*)，则数列{Sn}的通项公式为Sn＝________． 3n－2n　[∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝2Sn＋3n， ∴，∴－1＝．又－1＝－1＝－， ∴数列是首项为－，公比为的等比数列， ∴－1＝－＝－，∴Sn＝3n－2n．] 3n－2n 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 §2　数列的通项与求和 3．(2023·山西晋城模拟)已知数列{an}的前n项的积为Tn，且满足＝． (1)证明：数列{Tn}为等差数列； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn． [解]　(1)证明：当n≥2时，， ∴1＝，即Tn－Tn－1＝2．又当n＝1时，，得T1＝a1＝3， ∴数列{Tn}是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得Tn＝2n＋1，则bn＝， ∴Sn＝ ＝． 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 §2　数列的通项与求和 【教师备选资源】 设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝1－nan(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求T2n． [解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1－a1，∴a1＝． 当n≥2时，Sn＝1－nan，Sn－1＝1－(n－1)an－1． 两式相减，得an＝(n－1)an－1－nan，即(n≥2)． ∴an＝a1··…·×…×(n≥2)，又a1＝也满足上式，∴an＝(n∈N*)． 基础考点1 能力考点 基础考点2 专题限时集训 §2　数列的通项与求和 (2)令bn＝， 由(1)得bn＝－(2n－1)2n＋2n(2n＋1)＝4n， 则bn＋1－bn＝4(n＋1)－4n＝4，b1＝4， ∴数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． ∴T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＝2n(n＋1)． 10 【典例2】　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40． (1)求{an}的通项公式；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn． 基础考点2　分段数列的通项与求和 [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a2＝11，S10＝40， ∴ 解得a1＝13，d＝－2，则an＝13－2(n－1)＝－2n＋15(n∈N*)． (2)|an|＝|－2n＋15|＝ 即1≤n≤7时