02 环节1 专题1 §2 解三角形-【提分教练】2024年新高考数学二轮总复习课件（新教材）

专题一　三角函数与解三角形 §2　解三角形 环节1 1 【典例1】　(1)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________． (2)(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. ①若∠ADC＝，求tan B；②若b2＋c2＝8，求b，c． 基础考点　解三角形中的长度、角度、面积问题 2　 (1)2　[如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 法一：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6， 因为b>0，解得b＝1＋， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°， 解得AD＝＝2． 3 法二：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6， 因为b>0，解得b＝1＋，由正弦定理可得，， 解得sin B＝，sin C＝，因为1＋>>2， 所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°． 又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2．] 基础考点 能力考点2 能力考点1 专题限时集训 §2　解三角形 4 (2)[解]　①法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DC sin ∠ADC＝×1×a×a＝S△ABC＝，解得a＝4． 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝，sin B＝，所以tan B＝． 基础考点 能力考点2 能力考点1 专题限时集训 §2　解三角形 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1，S△ABC＝， 则SΔACD＝， 过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示： 在△ADE中，DE＝，AE＝，S△ACD＝CD＝，解得CD＝2， 所以BD＝2，BE＝，故tan B＝． ②法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8， 则a＝2(负值舍去)， 又S△ADC＝×1×sin ∠ADC＝， 解得sin ∠ADC＝1，而0<∠ADC<π， 于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2． 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点， 则)，所以(c2＋b2＋2bc cos A)， 又AD＝1，b2＋c2＝8，则1＝(8＋2bc cos A)， ∴bc cos A＝－2 ①， S△ABC＝bc sin A＝，即bc sin A＝2 ②， 由①②解得tan A＝－，∴A＝， ∴bc＝4，又b2＋c2＝8, ∴b＝c＝2． 应用正、余弦定理解题的技巧 (1)涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时，要根据式子的特点进行转化．如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． (3)涉及中线、角平分线或分点问题，可考虑利用向量、三角形的面积公式转化求解． 提醒：注意“算两次”思想的应用． 基础考点 能力考点2 能力考点1 专题限时集训 §2　解三角形 1．(2023·四川巴中一模)在△ABC中，若2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，则A＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． √ B　[因为2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)， 所以2(1－sin2A)－cos＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)， 则2－2sin2A＋cosB cos C－sin B sin C ＝2－2sin2B－2sin2C＋cosB cos C＋sin B sin C， 整理得：sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C．由正弦定理可得：b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理的推论得cos A＝， 因为A∈(0，π)，故A＝．故选B．] 基础考点 能力考点2 能力考点1 专题限时集训 §2　解三角形 2．[高考变式]在△ABC中，已知A＝，a＝2，角A的平分线交边BC于点D，△ABC的面积为2，则AD的长为________． 　[设AD＝x，由S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 即为cx·sin bx·sin bc sin ＝2， 可得(b＋c)x＝8，bc＝8，由a2＝b2＋c2－2bc cos ＝(b＋c)2－3bc， 即为12＝(b＋c)2－24，可得b＋c＝6，可得x＝．即AD的长为．] 　 基础考