18.2 第2课时 勾股数及勾股定理逆定理的应用 学习任务单 2023--2024学年沪科版八年级数学下册

18.2　第2课时　勾股数及勾股定理逆定理的应用 素养目标 1.能应用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题. 2.知道什么是勾股数,记住一些常见的勾股数. 3.能将勾股定理逆定理及勾股定理联合起来解题,培养综合运用知识的能力. 4.感悟勾股定理及逆定理的应用价值,体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化. ◎重点:勾股数,勾股定理及逆定理的综合应用. 预习导学 知识点 勾股数 阅读课本本课时“例2”及其后面一段内容,并填空. 1.能够成为直角三角形三条边长度的　 　,称为勾股数.  2.常见的勾股数:当k为正整数时,形如{3k,4k,5k},{7k,24k,25k},{9k,40k,41k}的数组都是勾股数,如当k=1时,{　 　}是一组勾股数;当k=2时,{　 　}也是一组勾股数.  【答案】1.三个正整数 2.答案不唯一,如3,4,5　答案不唯一,如6,8,10 【讨论】分别以下列四组数为一个三角形的边长:①0.6,0.8,1;②5,12,13;③8,15,17;④4,5,6.试判断其中能构成直角三角形的勾股数有哪几组. 【答案】解:①∵0.6,0.8不是正整数,∴0.6,0.8,1不是勾股数. ②∵52+122=169=132,且5,12,13又是正整数,∴5,12,13是勾股数. ③∵82+152=172,且8,15,17又是正整数,∴8,15,17是勾股数. ④∵42+52=41≠62,∴4,5,6不是一组勾股数. ∴可以构成勾股数有②③. 对点自测 1.下列给出的四组数中,是勾股数的一组是 ( ) A.3,4,6　　　　　 B.15,8,17 C.21,16,18 D.9,12,17 2.如图,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,A、B、C是三个格点(即小正方形的顶点).猜想AB与BC的大小关系和位置关系,并说明理由. 【答案】1.B 2.解:AB与BC相等且互相垂直. 理由:如图,连接AC. 由勾股定理可得BC2=12+22=5,AB2=12+22=5,AC2=12+32=10, ∴AB=CB,AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形,即AB⊥BC, ∴AB和BC的关系是相等且互相垂直. 合作探究 任务驱动一 勾股数 1.已知△ABC的三边a,b,c满足下列条件,试判断△ABC的形状及a,b,c是否为勾股数. (1)a=25,b=20,c=15. (2)a=p2-q2,b=p2+q2,c=2pq.(p>q>0,且p,q均为整数) 【答案】1.解:(1)∵b2+c2=202+152=625,a2=252=625,∴b2+c2=a2,∴△ABC是直角三角形,且∠A=90°,a,b,c是勾股数. (2)∵p>q>0,∴p2+q2>2pq>0,p2+q2>p2-q2>0,而a2+c2=(p2-q2)2+(2pq)2=(p2+q2)2=b2, ∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°. ∵p>q>0,且p,q均为整数, ∴a,b,c均为正整数,故a,b,c为勾股数. 【方法归纳交流】(1)勾股数有无数组,对于任意的两个整数 m,n(m>n>0),则 m2+n2,m2-n2,2mn是一组勾股数. (2)若a,b,c是一组勾股数,则ka,　 　,　 　(k为正整数)也是一组勾股数.  【答案】kb　kc 任务驱动二 综合运用勾股定理及其逆定理解题 2.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD的长. 【答案】2.解:在△ABD中,∵52+122=132,∴AD2+BD2=AB2.∴由勾股定理的逆定理知∠ADB=90°, ∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,∵CD2=AC2-AD2,∴CD====9,∴CD的长为9. 【方法归纳交流】(1)利用勾股定理的逆定理可解决下列问题:①判断三角形的形状;②求角的度数、三角形的边长及面积等;③证明垂直关系. (2)勾股定理是由已知图形得到边的数量关系,逆定理是已知边的数量关系得到图形,体现了由“形”到“数”和由“数”到“形”的转化. 任务驱动三 勾股定理的逆定理的实际应用 3.甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行,乙船以40海里/时的速度向南偏东的方向航行,2小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛.若C,B两岛相距100海里,问:乙船航行的方向是南偏东多少度? 【答案】3.解: 画出如图所示的示意图,在△ABC中,∵AC=2×30=60,AB=2×40=80,BC=100,∴AC2+AB2=602+802=3600+6400=10000=1002=BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.∵180°-35°-90°=55°