18.1 第1课时 勾股定理学习任务单2023-2024学年沪科版数学八年级下册

18.1　第1课时　勾股定理 素养目标 1.知道勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理. 2.经历探索、观察、实践、推导勾股定理的过程,逐步形成数学推理能力和概括能力. 3.通过学习有关勾股定理的背景知识,激发学习兴趣. ◎重点:用面积法证明勾股定理以及勾股定理的简单应用. 预习导学 知识点 勾股定理及其证明 阅读课本本课时“例1”前面的内容,并填空. 通过上面的探究可得Rt△ABC中,分别以三角形的各边为正方形的一边,向形外作正方形,正方形的面积S1,S2,S3之间的关系式为　 　,由此可得AC,BC,AB之间的关系式为　 　.  揭示概念:由勾股定理可知,直角三角形三边长之间的关系为　 　.若两直角边用a,b表示,斜边用c表示,则　 　.  【答案】S1+S2=S3　AC2+BC2=AB2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方　a2+b2=c2 对点自测 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,则BC=　 　.  2.如图,正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长,若正方形A、B的边长分别为1和2,则正方形C的面积为　 　.  【答案】1.4　2.3 合作探究 任务驱动一 用勾股定理求直角三角形的第三边长 1.如图所示,试求出下列各直角三角形中的未知边长. 【答案】1.解:(1)∵a2=122+52=132,∴a=13. (2)∵(9)2=b2+(8)2,∴b2=243-128=115,∴b=. (3)∵82=()2+c2,∴64=39+c2,∴c2=25,∴c=5. 【方法归纳交流】已知三角形任意两边长,利用勾股定理求三角形的第三边长.若Rt△ABC的两直角边长为a,b,斜边长为c,由a2+b2=c2可变形为a2=c2-b2或b2=c2-a2,也可变形为①c=;②a=;③b=. 【变式演练】如图,阴影部分的长方形的面积是　 　cm2.  【答案】45 任务驱动二 勾股定理的证明 2.勾股定理是一个古老的定理,人类很早就发现了这个定理,其证明方法多达百余种.如下图所示的拼图中,能用来验证勾股定理的有( ) A.①②③　　　　　B.①② C.①③　　 D.②③ 3.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB'C'D'的位置,连接CC',AC',AC,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 【答案】2.C 3.证明:由题意知,AD'=b,C'D'=a. ∵四边形BCC'D'为直角梯形, ∴S梯形BCC'D'=(BC+C'D')·BD'=. ∵Rt△ABC≌Rt△AB'C', ∴∠BAC=∠B'AC', ∴∠CAC'=∠CAB'+∠B'AC'=∠CAB'+∠BAC=90°, ∴S梯形BCC'D'=S△ABC+S△CAC'+S△D'AC'=ab+c2+ab=, ∴=,∴a2+b2=c2. 【方法归纳交流】利用拼图法证明勾股定理,关键是构图.基本思路:先构造一个含有直角三角形的图形,再用不同的代数式表示同一图形的面积,然后根据“同一个图形的面积相等”列等式,化简即得勾股定理的结论. 素养小测 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC长为半径作圆弧交边AB于点D.若AC=3,BC=4.则BD的长是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.一个直角三角形的三边长分别为3,4,x,则x2为 ( ) A.5 B.25 C.7 D.7或25 3.右图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),给出下列结论:①x2+y2=49;②x-y=2;③2xy+4=49;④x+y=7.其中正确的结论是 ( ) A.①② B.②④ C.①②③ D.①③ 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b,a∶b=3∶4,c=20,求a,b的长. 【答案】1.A　2.D　3.C 4.解:∵a∶b=3∶4, ∴设a=3k,b=4k(k>0). ∵∠C=90°,∴a2+b2=c2, 即 (3k)2+(4k)2=202, 解得 k=4, ∴a=12,b=16. 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$