1.3弧度制教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

3 弧度制 本节课选自《普通高中教科书·必修 1》（北师大 A 版）第一章第 3 节《弧 度制》. 一、内容与内容解析 1.内容 弧度制，弧度与角度的互化，弧长与面积公式. 2.教学内容分析 弧度制是角度制之外另一种度量角度大小的单位制度.是用单位长度度量角 度大小的一种方式.为建立能够描述周期现象的一个函数，任意角的拓展及旋转 的定义对定义域做好了开发，但是高中阶段函数是非空数集到非空数集的一种对 应，即更希望利用实数直接刻画角度.以利于定义函数及与其他函数的运算与复 合.所以首先要让学生理解弧度制引入的必要性，其次是体会两种不同的表达方 式都可以揭示问题的本质. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解弧度制的概念，掌握弧度与 角度的互换. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化 （2）理解弧度制引入的必要性及在本单元中的作用，获得用不同方法刻画 同一事物的经验.体会辩证统一的思想及数学的简洁美. （3）在形成弧度制的概念及应用的过程中，提升数学抽象与数学运算的素养. 2.目标解析 学生达成上述目标的标志是： （1）理解并能够进行角度制与弧度制的互化 （2）能想到用长度度量角的对应方式，能理解单位圆的特殊性，通过合作 的形式作出一弧度的角，数学抽象与数学表达明显提升. （3）通过数学史的阅读与交流，对弧度制有了更深入的了解，进一步体会 弧度制在函数主题中的作用，数学分析能力得到提升. 三、教学问题诊断分析 在之前认识角度时，都是用周角的 3601 作为单位，度量角度张开的大小，在上一节任意角的概念中，把角的概念拓展到了以终边的旋转形成的角.学生理解 并掌握本节内容主要有以下问题： 教学问题一：为何不用角度制？小学与初中已经学习过角的概念，是由两条射线围成的平面图形，度量角的方法也就是角度制.这里引入弧度的必要性是什么？解决方案：通过复习回顾，了解角度已经得到了拓展，并完成了几何到代数的对应.利用“单元——章节”目标分析，我们要定义从非空实数集到非空实数集的一种对应关系，并能够进行适当的运算，角度制单位与实数进制不同，而且与实数运算会出现很强的“违和感”. 教学问题二：如何用长度度量角？解决方案：分两步.第一步完成对 0° : 360° 角度的转换，第二步，仿照任意角的旋转定义直接定义为弧度角.这样作学生可以利用平面几何中圆的形状中，半径，圆弧等要素去衡量角度的“开合”程度， 最终找到一个与半径，弧长都无关的数值进行对应.实际上也是使用了转化的思想. 3.教学问题三：怎样引导学生理解一弧度？解决方案：借助于信息技术工具， 构造单位圆，利用等于半径长的线段“贴合”到圆周上，其弧的长度即为 1 个单 位，其对应的角则定义为 1 弧度. 4.教学问题四：怎样让学生体会本节在“主题—单元—章节”整体设计中的 地位和作用？解决方案：通过本节的小结和课后思维导图的任务布置，让学生了 解本节在本单元中的地位和作用，进而对整个知识体系和思想体系理解更加深刻. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：弧度制的建立与应用. 四、教学支持条件分析 教学过程中，为了探究弧长与半径的比值为一个固定的常数，可以使用几何 画板软件进行直观演示，在单位圆中做一个单位的弧长所对的圆心角的弧度数为 1 弧度时，可以使用 geogebra 作图软件进行演示，并展示“皮尺绕圆”案例，为 了展示更丰富的内容，主要采用课件和希沃白板的展示功能. 五、教学过程的设计与实施 环节一 【情境导入】 情境 1：设计动画，现实世界中对长度，面积，体积的度量，都是以先引入一个 单位线段，进而以它为单位对其他线段或曲线进行测量. 情境 2：设计一个自行车的主动轮通过链条带动从动轮的动画，让学生观察两个 轮子带动相同长度的链条，转过的角度有怎样的关系. （设计意图：通过相同链条的长度对两个半径不同的圆转过的角度不同，让学生思考弧长与哪些因素有关，进而为转换度量角的方式作铺垫）环节二 【合作探究】 探究 1：在平面圆 O 中，设 b =n° ， OP =r ，圆弧 PQ 的长为 l ，则 l, n, r 之间有 怎样的关系？ 【师生活动】学生：由弧长公式可知 l =180npr . 教师：那么圆心角的大小与那些变量有关？ 学生：与圆心角的度数和圆的半径有关. 教师：为了建立与圆心角的弧度数之间的关系，我们减少变量，对代数式作一下变形，得到 rl =180p n ，这样就得到圆心角的大小，只与弧长和半径的比值有关.探究 2：我们该如何定义1 弧度的角？ 教师：既然 rl 是一个与圆心角有关，而且是一个唯一确定的量，我们怎样定义1弧度的角的大小比较合适？ 学生：是否可以考虑当 rl =1时，即等于半径的弧长所对的圆心角定义为1 弧度？教师：早在