17.4 第2课时 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值 学习任务单 2023-2024学年沪科版数学八年级下册

17.4　第2课时　利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值 素养目标 1.能将一元二次方程中两根的其他运算关系转化为两根之和与两根之积之间的运算. 2.能利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值,进一步掌握“整体”代入法. ◎重点:利用一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值. 预习导学 知识点 一元二次方程根与系数关系的应用 阅读课本本课时“例2”的内容,解答下列问题. 已知x1,x2是方程x2-2x-2=0的两实数根,不解方程,求下列各式的值: (1)(x1-1)(x2-1);(2)x2+x1. 归纳总结:利用根与系数的关系解决问题时,应先由根与系数的关系得到两根之和与两根之积,将要求的代数式进行变形,用含有两根之　 　与两根之　 　的代数式表示出来,再将两根之和与两根之积代入,求出所求代数式的值.  【答案】解:由韦达定理得x1+x2=2,x1·x2=-2. (1)(x1-1)(x2-1)=x1·x2-x1-x2+1=x1·x2-(x1+x2)+1=-2-2+1=-3. (2)x2+x1=x1x2(x1+x2)=(-2)×2=-4. 和　积 对点自测 1.已知x1,x2是方程x2-3x+1=0的两个实数根,则+的值是 ( ) A.3 B.-3 C. D.1 2.若方程x2-2x+1=0的两根分别为x1,x2,则+的值为 ( ) A.8　 B.6　 C.4　 D.2 【答案】1.A　2.B 合作探究 任务驱动一 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值 1.已知一元二次方程2x2-5x+1=0的两根分别为m,n,求:(1)m2+n2;(2)+. 【答案】1.解:由题意得Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×1=17>0,因此m+n=,mn=. (1)m2+n2=(m+n)2-2mn=2-2×=. (2)+==÷=. 【变式演练】已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7,那么m的值是 ( ) A.5 B.-1 C.5或-1 D.-5或1 【答案】B 【方法归纳交流】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2(注意前提:Δ≥0),则x1+x2=-,x1·x2=,解题时先将代数式变形成两根之和与两根之积的形式,常见的变形有: (1)+=(x1+x2)2-2x1x2;(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(3)+=;(4)+=. 2.关于x的方程kx2+(k+1)x+=0有两个不相等的实数根. (1)求实数k的取值范围. (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数之和等于0?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 【答案】2.解:(1)由(k+1)2-k2=2k+1>0,解得k>-,又k≠0,∴k>-且k≠0. (2)假设存在,∵x1+x2=-,x1x2=,则+===0,解得k=-1,与k>-矛盾,∴不存在满足条件的实数k. 【方法归纳交流】在已知两根的关系式中求其中字母的取值时,一定要注意求得的字母的值要能使方程　 　实数根.  【答案】有 任务驱动二 方程的根的定义、根与系数的关系相结合 3.设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别为x1,x2,则(x1+x2)(-3x2)=　 　.  【答案】3.3 学习小助手 ①由根的定义得-3x2=　 　;②由根与系数的关系得x1+x2=　 　.  【答案】1　3 【变式演练】设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别为x1,x2,则-2x1+x2=　 　.  【答案】　4 素养小测 1.已知x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则2x1+2x2-x1x2的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-7 D.7 2.已知m,n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于 ( ) A.2019 B.2020 C.2021 D.2022 3.若a,b是方程x2-x-505=0的两个实数根,则(2a-1)(2b-1)=　 　.  4.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根. (1)求m的取值范围. (2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2,且+=12,求m的值. 【答案】1.D　2.B　3.-2021 4.解:(1)根据题意得Δ=(2m)2-4(m2+m)≥0, 解得m≤0. 故m的取值范围是m≤0. (2)根据题意得x1+x2=-2m,x1x2=m2+m. ∵+=(x1+x2)2-2x1·x2=12, ∴(-2m)2-2(m2+m)=12,即m2-m-6=0, 解得m1=-2,m2=3(舍去). 故m的值为-2. 第 3 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公