17.4 第1课时 一元二次方程的根与系数的关系学习任务单2023-2024学年沪科版数学八年级下册

17.4　第1课时　一元二次方程的根与系数的关系 素养目标 1.知道一元二次方程的根与系数的关系,并能证明这一结论. 2.会运用根与系数的关系解决有关问题. ◎重点:一元二次方程的根与系数的关系的推导及应用. 预习导学 知识点一 一元二次方程的根与系数的关系 阅读课本本课时“例1”及其前面的内容,并填空. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0). (1)若该方程有根,则b2-4ac　 　,方程的根可表示为x=　 　.  (2)若用x1,x2分别表示方程的两个根, 则x1+x2=+ ==　 　;  x1·x2=·=·==　 　.  归纳总结:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,那么x1+x2=　 　,x1·x2=　 　.这个关系通常称为韦达定理.  当一元二次方程的系数为1时,它的标准形式为x2+px+q=0.设它的两个根为x1,x2,则韦达定理是x1+x2=　 　,x1x2=　 　.  【答案】(1)≥0　 (2)-　 -　 -p　q 对点自测　若方程x2-3x+1=0的两根为x1和x2,则x1+x2=　 　,x1x2=　 　.  【答案】3　1 知识点二 一元二次方程根与系数关系的应用 阅读课本本课时“例1”的内容,并填空. 若2,x1是关于x的一元二次方程x2-kx-6=0的两个根,则2x1=　 　,故x1=　 　,根据x1+2=　 　,可求得k值为　 　.  【答案】-6　-3　k　-1　根与系数 归纳总结:已知方程的一个根求其另一个根及未知系数的值,可根据一元二次方程　 　的关系列方程(组)求解.  对点自测　已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和-3,则 ( ) A.p=-1,q=-6 B.p=1,q=6 C.p=1,q=-6 D.p=-1,q=6 【答案】C 合作探究 任务驱动一 不解方程,求方程的两根之和与两根之积 1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积: (1)2x2+5x=0;(2)4x2+1=7x;(3)3x2-x=2. 【方法归纳交流】求方程的两根之和与两根之积时,先把方程变为　 　,然后求解.  【答案】1.(1)解:(1)x1+x2=-,x1x2=0.(2)x1+x2=,x1x2=.(3)x1+x2=,x1x2=-. 一般形式 【变式演练】已知α,β满足α+β=5,且αβ=6,则以α,β为两根的一元二次方程是 ( ) A.x2+5x+6=0 B.x2-5x+6=0 C.x2-5x-6=0 D.x2+5x-6=0 【答案】B 任务驱动二 根据方程根与系数的关系求未知系数的值 2.已知方程x2+4x+a=0的一个根为2,求它的另一个根及实数a的值. 【答案】2.解:设方程的另一个根为x1,则2+x1=-4,解得x1=-6.又因为2x1=a,所以a=2×(-6)=-12. 【变式演练】如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根为x1,x2满足x1x2-2x1-2x2-5=0,那么a的值为 ( ) A.3 B.-3 C.13 D.-13 【答案】B 3.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等数实根x1,x2. (1)求实数k的取值范围. (2)若方程两个实数根x1,x2满足x1+x2=-x1·x2,求实数k的值. 【答案】3.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(2k+1)2-4(k2+1)=4k-3>0,解得k>. (2)由根与系数的关系得,x1+x2=-(2k+1),x1·x2=k2+1.∵x1+x2=-x1·x2, ∴-(2k+1)=-(k2+1),解得k=0或k=2. 又∵k>,∴k=2. 素养小测 1.若实数k、b是一元二次方程(x+3)(x-1)=0的两个根,且k<b,则一次函数y=kx+b的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 ( ) A.x1+x2<0 B.x1x2<0 C.x1x2>-1 D.x1x2<1 3.已知关于x的一元二次方程x2-kx+k-3=0的两个实数根分别为x1,x2,且+=5,则k的值是 ( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 4.已知关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有一个根是x=3,求c与另一个根. 【答案】1.C　2.D　3.D 4.解:当x=3时,原方程为32-4×3+c=0,解得c=3. 设方程的另一个根为x1,根据题意得3+x1=4,解得x1=1. ∴c的值为3,方程的另一个根为1. 第 3 页