2.6.1余弦定理与正弦定理第2课时教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

《余弦定理（第二课时）》教学设计 一、单元内容和内容解析 本节主要有三个重要知识点，一是用向量导出余弦定理的基础上进而得出正弦定理，然后用余弦定理、正弦定理解三角形；二是用向量研究几何证明中的问题；三是研究向量在物理中的应用问题. 平面向量及其应用属于必修课程的几何与代数部分，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.本单元借助向量的物理背景和平面向量运算的几何意义，进一步解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决 数学和实际问题中的作用.同时归纳总结向量法解决平面几何和物理中的基本套路，基本步骤. 向量在平面几何和物理中应用，让学生深切体会到向量是工具，也是方法，更是一种数学思想，对后续选择性必修课程中空间向量在立体几何的应用具有启发性，类比向量的解析法为学习解析几何做好准备. 本单元研究向量的应用方法，借助向量的几何和物理背景，充分体现向量的工具性、方法性和思想性.进一步让学生体会向量是代数和几何完美结合，解决问题的一把利器，因而本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳等数学思想方法，是培养学生逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体. 基于以上分析，确定 【单元教学重点】 用向量法证明余弦定理及正弦定理的推导，及正余弦定理的应用.用向量法 解决简单几何问题、物理中的应用问题的方法和步骤. 二、单元目标及其解析 1.教学目标 ①借助向量的运算，探索三角形边长和角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理. ②能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. ③会用向量方法解决简单的平面几何问题、物理中的应用问题以及其他实际问 题，体会向量在解决数学和实际生活中的作用. 2.目标解析 达成目标的标志： ①学生能利用所学数量积等相关知识推导出余弦定理，体会到向量推导余弦定理 是最简洁的；进而进一步研究三角形中边角定量关系，推导得到正弦定理，同 时能应用这两个定理，解三角形和判断三角形的形状. ②学生能认识到：三角形是平面几何中最基本的图形之一.能够将生活中无法直接度量的长度和角度归结到合适的三角形中，直接度量出相关的边和角，通过 解三角形计算出要度量的长度和角度. ③学生能从应用向量解决平面几何中的具体实例中，总结出向量的运算与相关的 问题的对应关系.比如利用共线可以解决平行，利用数量积可以解决垂直和角 度问题，利用向量的模可以解决长度问题，从而进一步体会数形结合在解决问 题的简洁性，并能够在老师的引导下，归纳向量法解决平面几何的“三部曲”. ④学生能把物理问题转化为数学问题，即如何将物理量之间的关系转化为数学模 型；同时能利用数学模型的解来解释问题中反映的物理现象.并引导学生归纳 总结出向量法解决实际问题的方法和步骤. 三、单元教学问题诊断分析【学情分析】 学生已经学习了平面向量的概念、运算以及平面向量的基本定理，初步体会 到向量有其丰富的几何和物理背景，再从向量的运算中进一步认识到向量的几何 意义这些为进一步理解和掌握平面向量打下良好的基础，也为选择性必修中应用 空间向量解决立体几何的学习做好铺垫. 学生数形结合的思想认识不足，看到图形图不知道怎么下手写出式子，这也 是值得我们去关注的地方.针对这些问题，我们要做好以下几点： 一是加强数形结合思想的训练，让学生能够在图中找到一些有效的信息，然 后根据余弦定理的特点，列出相关式子，从而解决相关问题.加强向量在几何证 明中的分析. 二是巩固向量的应用的训练，余弦定理的推导就是利用向量法来证明，通过 学习好向量法的相关知识，以此为基础，那么余弦定理这块，学习起来会显得轻 松很多.同时提高学生在物理中应用的能力. 基于以上分析，确定 【单元教学难点】 ①向量法证明余弦定理. ②如何把几何问题、实际问题转化为向量问题； 四、课时教学安排 本单元建议用 8 课时，具体安排如下：余弦定理 2 课时，正弦定理 1 课时，正余弦定理的应用 3 课时，平面向量在几何、物理中的应用举例 2 课时. 五、单元教学过程 （一）课时教学内容 在余弦定理第一课时，学生已经探索得到了余弦定理，并能进行初步应用， 本节课是余弦定理第二课时，旨在加强学生对余弦定理的进一步理解及认识，包 括梳理概括余弦定理解决的三角形问题类型及与三角形面积公式的联系． （二）课时教学目标 ①通过牛刀小试环节，学生能梳理概括余弦定理解三角形的类型及判断三角形形 状的方法； ②通过例 1，学生能在复杂图形中利用余弦定理解三角形，通过例 2，学生了解 余弦定理与不等式、三角形面积公式等相关知识的联系. （三）课时重点难点 重点：余弦定理在解三角形中的应用. 难点：利用余弦定理在复杂的几何图形中解三角形及与其他知识的联系. （四）教学过程 环节一：创设情境，复习回顾 师：大家观察图片，你们看到了什么？大家有没有