2.6.1余弦定理与正弦定理第1课时教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

《余弦定理（第一课时）》教学设计 一、单元内容和内容解析 本节主要有三个重要知识点，一是用向量导出余弦定理的基础上进而得出正弦定理，然后用余弦定理、正弦定理解三角形；二是用向量研究几何证明中的问题；三是研究向量在物理中的应用问题. 平面向量及其应用属于必修课程的几何与代数部分，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.本单元借助向量的物理背景和平面向量运算的几何意义，进一步解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决 数学和实际问题中的作用.同时归纳总结向量法解决平面几何和物理中的基本套路，基本步骤. 向量在平面几何和物理中应用，让学生深切体会到向量是工具，也是方法，更是一种数学思想，对后续选择性必修课程中空间向量在立体几何的应用具有启发性，类比向量的解析法为学习解析几何做好准备. 本单元研究向量的应用方法，借助向量的几何和物理背景，充分体现向量的工具性、方法性和思想性.进一步让学生体会向量是代数和几何完美结合，解决问题的一把利器，因而本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳等数学思想方法，是培养学生逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体. 基于以上分析，确定 【单元教学重点】 用向量法证明余弦定理及正弦定理的推导，及正余弦定理的应用.用向量法 解决简单几何问题、物理中的应用问题的方法和步骤. 二、单元目标及其解析 1.教学目标 ①借助向量的运算，探索三角形边长和角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理. ②能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. ③会用向量方法解决简单的平面几何问题、物理中的应用问题以及其他实际问 题，体会向量在解决数学和实际生活中的作用. 2.目标解析 达成目标的标志： ①学生能利用所学数量积等相关知识推导出余弦定理，体会到向量推导余弦定理 是最简洁的；进而进一步研究三角形中边角定量关系，推导得到正弦定理，同 时能应用这两个定理，解三角形和判断三角形的形状. ②学生能认识到：三角形是平面几何中最基本的图形之一.能够将生活中无法直接度量的长度和角度归结到合适的三角形中，直接度量出相关的边和角，通过 解三角形计算出要度量的长度和角度. ③学生能从应用向量解决平面几何中的具体实例中，总结出向量的运算与相关的 问题的对应关系.比如利用共线可以解决平行，利用数量积可以解决垂直和角 度问题，利用向量的模可以解决长度问题，从而进一步体会数形结合在解决问 题的简洁性，并能够在老师的引导下，归纳向量法解决平面几何的“三部曲”. ④学生能把物理问题转化为数学问题，即如何将物理量之间的关系转化为数学模 型；同时能利用数学模型的解来解释问题中反映的物理现象.并引导学生归纳 总结出向量法解决实际问题的方法和步骤. 三、单元教学问题诊断分析【学情分析】 学生已经学习了平面向量的概念、运算以及平面向量的基本定理，初步体会 到向量有其丰富的几何和物理背景，再从向量的运算中进一步认识到向量的几何 意义这些为进一步理解和掌握平面向量打下良好的基础，也为选择性必修中应用 空间向量解决立体几何的学习做好铺垫. 学生数形结合的思想认识不足，看到图形图不知道怎么下手写出式子，这也 是值得我们去关注的地方.针对这些问题，我们要做好以下几点： 一是加强数形结合思想的训练，让学生能够在图中找到一些有效的信息，然 后根据余弦定理的特点，列出相关式子，从而解决相关问题.加强向量在几何证 明中的分析. 二是巩固向量的应用的训练，余弦定理的推导就是利用向量法来证明，通过 学习好向量法的相关知识，以此为基础，那么余弦定理这块，学习起来会显得轻 松很多.同时提高学生在物理中应用的能力. 基于以上分析，确定 【单元教学难点】 ①向量法证明余弦定理. ②如何把几何问题、实际问题转化为向量问题； 四、课时教学安排 本单元建议用 8 课时，具体安排如下：余弦定理 2 课时，正弦定理 1 课时，正余弦定理的应用 3 课时，平面向量在几何、物理中的应用举例 2 课时. 五、单元教学过程 （一）课时教学内容 本课时内容学习之前，已经研究过有关三角形、三角函数和解直角三角形、 平面向量等知识，进而运用所学知识研究余弦定理的证明. （二）课时教学目标 ①在创设的问题情境中，能主动探索、发现余弦定理，掌握用向量法推证余弦定 理，并能运用余弦定理理解简单的三角形； ②通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，养成观察与逻辑思维 能力，能够将生活问题抽象概括成数学问题，提高数学抽象、数学运算、数学 建模等核心素养. （三）课时重点难点 重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步运用余弦定 理. 难点：利用向量法证明余弦定理的思路. （三）教学过程流程： 设计意图：梳理本单元研究内容脉络，明确本节课 环节一：复习回