2.5.3向量的数量积第一课时教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

教学设计 课题：从力的做功到向量的数量积 一、单元内容和内容解析 1.内容 “从力的做功到向量的数量积”是北师大版必修二第二章“平面向量及其应用”第 5 节的内容。这一节包括向量的数量积的定义、投影向量与投影数量、数量积的运算性质，向量数量积的坐标表示，利用数量积计算长度与角度。 2.内容解析 （1）内容的本质 从代数角度看，向量数量积为向量之间的乘法运算，遵循一般的运算研究脉络，即物理背景——运算法则及几何意义——运算性质及几何意义一一联系与应用。向量数量积有明确的物理背景；向量的数量积是向量集对应到实数集的映射。 从几何角度看，向量数量积的几何意义为向量 a 在向量 b 上的投影的数量与 b 的模的乘积，即将两个不同方向向量的数量积等效为在一条直线方向上的线性 运算，实现从“二维”到“一维”降维的目的。 (2)蕴含的数学思想和方法 本节课从力做功的物理背景中抽象出数量积的数学模型，从力的分解角度抽象向量投影的概念，体现了数学抽象思想。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是代数、几何与三角的结合，蕴含了数形结合思想：在向量数量积概念、性质的学习过程中，蕴含着从特殊到一般的数学思想与方法：从研究方法的角度看，研究向量数量积与前面研究向量的加法、减法、数乘是类似的，体现了类比的思想。 （3）知识的上下位关系 从教学内容的上、下位知识来看，向量的数量积是向量运算的一种形式，向量的数量积的学习完善了向量的运算体系，有利于学生从数的角度去体会研究数学要素的基本方法和思路。但不同的是，向量线性运算的结果还是向量，而向量 1 / 12 数量积的结果是数量。向量数量积体现了向量的长度和两个向量的夹角之间的一种关系，所以可以作为工具有效地解决线段（直线）位置关系的问题：把向量的数量积应用到三角形中，能解决三角形边角之间的有关问题：利用向量数量积可以推导两角差的余弦公式，同时在解决两条直线平行、夹角、距离等问题有广泛的应用。 （4）育人价值 本节课通过学生熟悉的物理模型，逐一抽象出其背后的数学模型，符合学生的认知规律。通过物理背景抽象出数学模型，培养了学生数学抽象能力。在向量数量积概念的形成过程中，通过引导学生归纳概括、分类讨论、由数到形，由形到数，培养学生的抽象概括、直观想象的能力；在向量数量积性质的探究过程，培养了学生逻辑推理能力；在数量积的坐标表示和计算长度与角度中，培养学生的数学运算与直观想象的能力。 基于以上分析，确定 【单元教学重点】平面向量数量积及其坐标表示。 二、单元目标及其解析 1.教学目标 （1）通过物理学中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，能用坐标表示数量积;通过几何直观，体会平面向量数量积与向量投影的关系，了解平面向量数量积的运算规则和性质;会计算平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； （2）经历向量运算转化为坐标运算的过程，体会坐标的意义，熟悉坐标化的方法，理解用坐标表示的平面垂直的条件;会利用数量积的性质计算几何图形中的长度和角度； （3）通过本节的学习，体会坐标运算对于性质判断的简洁性和规律性，全面认识和理解研究向量运算的基本路径和一般方法。 2.目标解析 （1）能以物理中的“功”为背景，解释平面向量数量积的内涵，会计算平面向量的数量积。 （2）能作出向量 a 在向量 b 上的投影，并能结合图形直观解释向量 a 在向量 b 上的投影向量；能根据向量投影的概念得出向量 a 在向量 b 上的投影向量的表达式。 （3）能类比数的乘法运算律和向量线性运算的运算律，提出平面向量数量积的运算律，并能通过作图和代数运算进行证明；能根据平面向量数量积的定义发现数量积的几何意义(向量的长度、向量的夹角)，会用数量积判断两个向量的垂直 2 / 12 关系； （4）能类比向量的线性运算的坐标表示，得到向量数量积的坐标表示； （5）能根据向量数量积的几何特性，计算涉及长度、夹角、平行于垂直等几何问题； （6）能不断加深对运算对象的理解，能总结定义向量运算法则的数学思想、研究向量运算性质的数学方法，能说出定义向量运算的基本套路，能举例说明数学运算与逻辑推理的关系。 达成目标的标志： （1）通过物理中“功”的实例，理解用“夹角”刻画两个向量方向的差别；由“功”是一个数量而不是向量，理解向量的数量积也是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度和夹角的余弦有关；会根据数量积的概念，计算平面向量数量积； （2）通过物理中“力的分解”，类比得出向量 a 在 b 上的投影向量，会做向量 a 在 b 上投影向量，会解释向量 a 在 b 上的投影向量：通过 a 与 b 夹角进行分类讨 论，得到 a 在 b 上的投影向量的模长和方向，从而得到投影数量的概念，进而理解向量数量积的几何意义；