2.3.1从速度的倍数到向量的数乘第1课时教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

一、课时教学内容 《从速度的倍数到向量的数乘》 3.1 向量的数乘运算 二、教学目标 1.通过类比向量加法运算的几何含义，归纳任意实数与向量的积的几何含义，掌握数乘运算的定义，渗透特殊到一般的思想. 2.能利用定义和运算律进行向量的线性运算，培养学生的运算能力和逻辑推理能力. 三、重点与难点 重点：向量的数乘和实际联系，实数与向量积的定义和运算难点：向量的数乘运算律的推导四、教学过程流程 本节课以“问题引导学习”为教学原则，将教学过程分为五个环节，即“复习引入、建构新知、应用强化、目标检测和回顾提升”，并通过8个主要问题将“五环节”有机联系起来. 依据概念课教学的基本要求，在“建构新知”的环节里，按照概念发现、形成和深化三个阶段展开，旨在引导学生充分经历和体验“发现定义的”全过程，发展学生的思维能力。 研究路径： 五、教学过程 环节一：复习引入 呈现背景 【问题1】：前两节课学习了向量的加法与减法运算后，同学们对这两种运算有什么认识呢？接下来要学习什么运算？ 教师活动：通过一系列的小问题，逐步引导得出向量的加法、减法运算是统一的；明确研究路径是一样的，研究方法也是一样的，类比实数的加减法，从背景— —定义——规则——性质——应用的研究过程。 学生活动：积极思考，厘清加、减法的本质。加深对向量的加减法运算认识。 设计意图：复习旧知，进一步明确向量的加法、减法运算是统一的；明确研究路径是一样的，研究方法也是一样的，同时也为自然的引入向量的乘法作铺垫。 背景1：一小球由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式v=gt可知，它在1s末和2s末的速度大小分别为 v1 =9.8m / s 和 v2 =19.6m / s .容易得到 v1, v2 的大小关系为： v2 =2v1 ，它们的方向都是竖直向下。它在1s末和2s末的位移大小 分别为 s1 =4.9m 和 s2 =19.6m . s1, s2 的大小关系为： s2 =4s1 ，并且方向也都是竖直 向下。 背景2：在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？光速是声速的多少倍吗？ 8.8×105倍. 师生活动：教师通过对自由落体运动中速度、位移这两个向量、自然界中光速和声速向量的共线属性的分析，让学生直观感知，学习数乘向量的必要性。 教师小结：以上实例说明在实际中存在这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间具有倍数关系.因此，有必要定义实数与向量的乘积运算.（板书课题） 设计意图：强调数乘向量的运算背景，自然地引入课题，也吸引了学生的注意力，提高了继续探索的兴趣。 环节二：建构新知 操作确认 （一）概念发现 【问题2】：我们知道，对于一个实数 a ，3个 a 相加就是 a 的3倍，表示为 3a ， 类似地，已知非零向量 a ，3个 a 相加，能表示为 3a 吗？你能用已有的知识作出合理 的解释吗？ 师生活动：学生自主探究，教师巡视，学生上台展示探究成果。 追问： ( a) ( a) ( a) 3a 也能表示成这种形式吗？你怎么理解 - 3a 这个向 量？ 师 生 共 同 总 结 得 出 ： 成 立 ， ( a) ( a) ( a) 应 该 等 于 3(- a) ， 而 ( a) ( a) ( a) 如 果 作 图 可 以 看 出 是 3a 的 相 反 向 量 ， 也 就 是 - 3a 从 而 ( a) ( a) ( a) 3a ； 根据同学们的探究，我们规定： 实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（教师板书）. 设计意图：学生在本节课之前学习过向量的加法运算，基于原有的知识储备，作出几个相同向量的和，再讨论它们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，从熟悉的问题引入，有助于消除学生的陌生感，能引起学生自主探索新概念的兴趣. （二）概念形成 1 1 【问题3】：如何确定向量 2 a 的大小与方向？ - 2 a 呢？ 设计意图：从整数到分数，再次明确代数表示和几何意义之间的转换，为下面推广为任意实数作铺垫。 （三）概念深化 【问题4】：如何确定向量 a 的大小与方向？ 师生活动：学生自主探究，交流合作，教师巡视学生探究的结果，适时指导、鼓励学生，探究结束后，教师与学生交流互动，鼓励学生说出自己的探究思路、探究结论. 教师给出一个空表，让学生继续探究，找出分类的标准，学生说出结论，教师板书完成表格如下： l a = a 0 a 的方向与 a 的方向