6.3.1平面向量基本定理导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1平面向量的基本定理 班级_____姓名_______ 【学习目标】 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 【自主学习】 知识点1 平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量， 那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：把 的向量e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底． 【合作探究】 探究一 基底的概念 【例1】下面说法中，正确的是(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的． A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④ 归纳总结： 【小试牛刀】 【练习1】设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　 　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 【练习2】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)基底中的向量不能为零向量．(　　) (2)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则必有a＝c，b＝d.(　　) (3)若两个向量的夹角为θ，则当|cosθ|＝1时，两个向量共线．(　　) (4)若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是60°.(　　) (5)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(　　) (6)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.　(　　) 探究二 用基底表示向量 1. 例2：已知 , 不共线,=t（t∈R)，用, 表示。 跟踪练习1：如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若＝a，＝b，试以{a，b}为基底表示、. 归纳总结： 例2：在 ∆ABC 中， D 是边 BC 的中点，连接 AD ,若 AD=AB , 利用向量方法证明 ∆ABC为直角三角形. 归纳总结： 探究三 平面向量基本定理的应用 【例3】如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A. B.－ C. D. 归纳总结： 跟踪练习1：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP : PM与BP : PN的值． 【当堂达标】 1.下列说法中，正确说法的个数是(　 　) ①在△ABC中，，可以作为基底； ②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3 2.如图在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　) A.(5e1＋3e2)　　　　　　 B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　 　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 4. 如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　 　) ①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝. ④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①② 　 　B．②③　 　C．③④　　 D．② 5.已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 6.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝ . 7.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，. 8.