6.2.4向量的数量积（1）导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 6.2.4平面向量的数量积（1） 班级 姓名 【学习目标】 1．理解平面向量的数量积的定义.(数学抽象) 2．了解投影向量的概念.(直观想象) 【重难点】 1、重点：平面向量数量积的基本概念 2、难点：平面向量数量积的基本运算 【知识点与典型例题】 [知识点一]：向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与的夹角．功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. [知识点二]：向量数量积的概念 （1） 向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. （2）数量积的定义：已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即，其中是与的夹角． 注：零向量与任一向量的数量积为0．非零向量数量积的运算结果是一个数量，当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.特别地，如若a或b等于零，则a·b＝0. 向量的线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. （3）投影向量的概念：如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. （4）数量积的几何意义：设非零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影 ． 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度． 由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积． [知识点三]：向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. 注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量. (2)a⊥b⇔a·b＝0. 注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模. (4)，其中是非零向量与的夹角； 注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角. (5)|a·b|≤|a||b|.当且仅当向量共线，即时等号成立 注：可用于解决有关“向量不等式”的问题. 题型一：向量数量积的定义 例1：已知与的夹角，求 例2：设，求与的夹角 题型二：投影向量 例3：已知向量与的夹角为，求在上的投影向量. 例4：已知向量与的夹角为，求在上的投影向量. 题型三：向量数量积的性质 例5：判断下列各题是否正确 （1）若，则对于任一向量，都有 （ ） （2）若，则 （ ） （3）若，则 （ ） （4）若 （ ） 【当堂检测】 1.已知与的夹角是，则等于（ ） A. B. C. D. 2.已知，则向量与向量的夹角（ ） A. B. C. D. 3．（多选题）对于任意向量，下列命题中不正确的是（ ） A.若，则与中至少有一个等于 B. C.若，则 D. 4．在等腰直角三角形中，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5.已知，且与的夹角是，与同向的单位向量为，在上的投影为___________________ 6.2.4平面向量的数量积参考答案 【学习目标】 1．理解平面向量的数量积的定义.(数学抽象) 2．了解投影向量的概念.(直观想象) 【重难点】 1、重点：平面向量数量积的基本概念 2、难点：平面向量数量积的基本运算 【知识点与典型例题】 [知识点一]：向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与的夹