2024年中考数学压轴题训练——二次函数与角度

2024年中考数学压轴题训练——二次函数与角度 1.如图,抛物线 与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C,顶点为D,抛物线的对称轴DF与BC相交于点E,与x轴相交于点F. (1)求线段DE的长; (2)设过E的直线与抛物线相交于M(x1,y1),N(x2,y2),试判断当|x1﹣x2|的值最小时,直线MN与x轴的位置关系,并说明理由; (3)设P为x轴上的一点,∠DAO+∠DPO=∠ ,当tan∠ =4时,求点P的坐标. 2.如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)经过点B. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M的横坐标为m, ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值; (3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,动点M相应的位置记为点M′.将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′,当直线l′与直线AM′重合时停止旋转,在旋转过程中,直线l′与线段BM′交于点C,设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2,当d1+d2最大时,求直线l′旋转的角度(即∠BAC的度数). 3.已知抛物线的解析式y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,点B的坐标为(﹣1,0)抛物线与y轴正半轴交于点C, ABC面积为6. (1)如图1,求此抛物线的解析式; (2)P为第一象限抛物线上一动点,过P作PG⊥AC,垂足为点G,设点P的横坐标为t,线段PG的长为d,求d与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围; (3)如图2,在(2)的条件下,过点B作CP的平行线交y轴上一点F,连接AF,在BF的延长线上取点E,连接PE,若PE=AF,∠AFE+∠BEP=180 ,求点P的坐标. 4.如图,已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C. (1)求线段BC的长; (2)当0≤y≤3时,请直接写出x的范围; (3)点P是抛物线上位于第一象限的一个动点,连接CP,当∠BCP=90o时,求点P的坐标. 5.如图,一次函数的图像与坐标轴交于A、B两点,点C的坐标为,二次函数的图像经过A、B、C三点. (1)求二次函数的解析式 (2)如图1,已知点在抛物线上,作射线BD,点Q为线段AB上一点,过点Q作轴于点M,作于点N,过Q作轴交抛物线于点P,当QM与QN的积最大时,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,连接AP,若点E为抛物线上一点,且满足,求点E的坐标. 6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,B点与C点是直线y=x﹣3与x轴、y轴的交点.D为线段AB上一点. (1)求抛物线的解析式及A点坐标. (2)若点D在线段OB上,过D点作x轴的垂线与抛物线交于点E,求出点E到直线BC的距离的最大值. (3)D为线段AB上一点,连接CD,作点B关于CD的对称点B′,连接AB′、B′D ①当点B′落坐标轴上时,求点D的坐标. ②在点D的运动过程中, AB′D的内角能否等于45 ,若能,求此时点B′的坐标;若不能,请说明理由. 7.已知抛物线 y ax2 bx c a 0经过点 A2, 0、 B 5, 0. (1)用含 a 的代数式表示b 、c ; (2)若点C 6, 4在抛物线上,在抛物线上找一点 P ,使 x 轴恰好平分CAP ,若存在求出点 P ,并求出此时ACP 的面积; (3)在(2)的条件下,在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使tan AQC 2 ,若存在求出点Q 的坐标,若不存在请说明理由. 8. 在平面直角坐标系中,点为坐标原点,直线与轴、轴相交于、两点,抛物线经过点,对称轴为直线. (1)求a和b的值; (2)点是直线上方抛物线上任意一点,设点的横坐标为,的面积为,求与之间的函数关系式,并写出的取值范围; (3)为抛物线上的一点,连接,当时,求点的坐标. 9.如下图①,抛物线与x轴交于点,与y轴交于点C,连接. (1)求抛物线的表达式; (2)抛物线上是否存在点M,使得的面积与的面积相等,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由; (3)点在第一象限的抛物线上,连接.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 10.如图,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45 ,求点P的坐标. 11.如图,抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)与y轴交