第五章 导数 单元复习 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章导数单元复习 变化率问题 平均变化率 取极限 △x 导数的概念 导数的概念 舜时变化率im Av 4r+g△x 导数的几何意义 切线的斜率k=f'(x。) 基本初等函数的导数公式 导数及其应用 导数的计算 导数的运算法则 简单复合函数的导数 y,=y·☑ 函数y-f(x)在区间(a,b)上可导，若了(x) 函数的单调性 >0,则f(x)在(a,b)内单调递增：若f'(x)< 0,则f(x)在(a,b)内单调递减 ①求导数f'(x):②解方程 导数的应用 函数的极值 (x=0:③判断两侧符号 ①求极值：②极值与端点 函数的最大（小）值 处函数值比较 生活中的优化问题 要点一导数的几何意义及应用 导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上利用导数的几何意义 求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在 某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程： 另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 2x,),则切线方程为y一=fxx一)，再由切线过点Po,o)得一= fx1)xo一1).① 又已知片=x),② 由①②求出，y1的值，即求出了过点P(o,yo)的切线方程 切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合 性大题，难度一般为中等 例1(I)已知a∈R,设函数x)=ax一lnx的图象在点(1,1)》处的切线为1，则1 在y轴上的截距为 (2)设曲线y=c在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(>0)上点P处的切线垂直，则P 的坐标为 答案(1)1(21,1) 解析(1)由题意可知f(x)=a一Ix, 所以f(1)=a-1, 因为1)=a,所以切点坐标为(1，a), 所以切线1的方程为y一a=(a一1)x一1)， 即y=(a-1x+1, 令x=0,得y=1,即直线1在y轴上的截距为1. (2)由y=e,知曲线y=er在点(0,1)处的切线斜率%1=e0=l. 设P(m,n),又y=1x(x>0)的导数y'=一1x2, 曲线y=1x(心0)在点P处的切线斜率k2=一1m2. 依题意k2=-1,所以m=1,从而n=1. 则点P的坐标为(1,1). 训练1曲线x)=exx一1在x=0处的切线方程为 答案2x十y+1=0 解析fw)=ex(x-1)-ex(x-1)2=ex(x-2)(x-1)2,所以曲线在x=0 处的切线斜率为k=f(0)=一2， 又0)=一1，则所求的切线方程为y十1=一2x, 即2x十y+1=0. 要点二导数与函数的单调性 ()在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中， 只能在定义域内讨论导数的符号，进而判断函数的单调区间， 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“U”连 接 (2)函数的单调性与导函数值的关系 函数x)在(a,b)内可导，若f(x)>0,则函数x)在(a,b)内单调递增： 若fx)0,则函数x)在(a,b)内单调递减. 反之，若函数x)在(a,b)内单调递增，则f(x)≥0： 若函数x)在(a,b)内单调递减，则f(x)≤0. 即f(x)>0(f(x)0)是x)为增（减）函数的充分不必要条件. 例2已知函数x)=12x2+2anx-(a+2)x. (1)当a=1时，求函数x)的单调区间. (2)是否存在实数a,使函数g(x)=x)十ax十49x3在(0，+∞)上单调递增？若存在， 求出a的取值范围：若不存在，请说明理由 解(1)当a=1时，fx)=12x2+2nx-3x(0). 所以f(x)=x十2x-3=x2-3x+2x=(x-2)(x-1）x 令fx)）>0,则0<<1或x>2, 令fx)0,则1<2， 所以x)的单调递增区间为(0,1)和(2，十∞)，单调递减区间为(1,2). (2)存在，a≥724. 因为函数g(x)=fx)+a+49x3=12x2+2alnx-2x+493, 所以g(x)=x+2ax-2十43x2 要使函数g(x)在(0，+∞)上单调递增， 则g(x)=x+2ax一2十43x2≥0在(0，+∞)上恒成立， 即4x3+3x2-6x+6a≥0， 即a≥一4x3十3x2一6x6在(0，+∞)上恒成立. 令1x)=4x3+3x2-6x6,x∈(0，+o∞)， 则H(x)=2x2+x一1=(2x一1)x+1), 所以当x∈las4 alcol(0,fI2)时，h(x)0, h(x)在1as4 alico.1(0,12)上单调递减； 当x∈als4 alcol/fl2,+o)时，h(x)>0, h(x)在1als4 alcol(fl2,+o)上单调递增. 所以x=12是hx)的极小值点，也是最小值点，且h1als