思维拓展02 平面向量中坐标法的应用（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 思维拓展02 平面向量中坐标法的应用（精讲+精练） 一、建系的常见技巧 1.前言 坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标。对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的。 2.技巧 ①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等等； ②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等。 二、平面向量的坐标表示及坐标运算 1.设，，则，，若，为实数，则 2.设，，则= 3.已知点，，则， 4.已知，，则，， 5.已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 坐标表示 模 数量积 夹角 题型一：三角形建系 【例1】在中，已知，斜边，D是AB的中点，M是线段CD上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系,写出各个点的坐标.求得直线CD的方程,设出M点坐标,即可表示出.结合平面向量数量积的定义及M点横坐标的范围,即可求得的取值范围. 【详解】中,已知,斜边 所以以C为原点建立平面直角坐标系,如下图所示: 由三角函数可知 则 则直线CD的直线方程为. 设, 则 所以由平面向量数量积的坐标运算可得 因为所以 即的取值范围为故答案为: 一、单选题 1．已知是腰长为4的等腰直角三角形，，为平面内一点，则的最小值为 A． B． C．0 D． 2．已知的三边长，，，P为边上任意一点，则的最大值为 A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C．2 D． 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知等边的边长为2，D为边BC的中点，点是边上的动点，则的最大值为 ，最小值为 . 6．在锐角三角形中，已知，，则的取值范围为 . 题型二：四边形建系 【例1】如图,在直角梯形中,,,,E为的中点,若,则 , . 【答案】 【分析】以D为原点,边所在直线为x轴,边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算性质、平面向量基本定理即可得出. 【详解】以D为原点,边所在直线为x轴,边所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 不妨设，则，，，，， ，，， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：；. 一、单选题 1．如图，在等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 2．在四边形中，，，，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 4．正方形的边长为4，中心为.过的直线与边，分别交于点，，点满足条件：，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 二、填空题 5．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则 . 6．如图，在矩形中，，，，是上的两动点，在的左边，且，则的最小值为 ．      7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧BD上的点，则的范围为 题型三：圆有关建系 【例1】已知点在以为圆心的圆弧上运动，且，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设为直角坐标系的x轴，建立平面直角坐标系.记与夹角为,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到(其中),结合三角函数的图象和性质,可得答案. 【详解】设为直角坐标系的x轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记与夹角为, 则，，代入,有, ∴，∴，故(其中), ,，而，, 当时，取最大值，当,即时,取最小值2， ∴的取值范围为， 故答案为: .    一、单选题 1．已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．8 D． 2．如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D．1 3．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知