6.3正弦定理（第1课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

第 6 章 三角 2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 6.3正弦定理（第1课时） 学习目标 1.掌握正弦定理及其推导过程. 2.掌握正弦定理的基本变形. 3.能够运用正弦定理解三角形、正弦定理的用途. 4.通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究过程，培养学生的探究精神和创新意识. 在初中我们已学习了直角三角形的求解问题 ， 但在解决实际问题时 ， 所遇到的三角形往往不是直角三角形 ． 我们将不是直角三角形的三角形统称为 斜三角形 ． 在三角形的三个角和三条边这六个元素中 ， 经常会遇到已知其中三个元素 （ 至少一个元素为边 ）求其他元素的问题 ， 这称为解三角形 ． 为此 ， 需要知道边和角之间的数量关系 新课讲解 例如 ， 某林场为了及时发现火情 ， 设立了两个观测点 A和B ． 某日两个观测点的林场人员都观测到 C 处出现火情 ． 在 A处观测到火情发生在北偏西 ４０° 方向 ， 而在 B处观测到火情在北偏西 ６０° 方向 ． 已知 B在 A的正东方向 １０ｋｍ 处 （ 图 ６-３-１ ）， 要确定火场 C分别距 A 及 B多远 ． 将此问题转化为数学问题 ： 在△ABC中 ， 已知 ∠ CAB ＝１３０° ， ∠ CBA ＝３０° ， AB＝１０ｋｍ． 求AC 与 BC 的长 ． 为解答这个斜三角形问题 ， 就要研究斜三角形中边与角之间的关系 ． 在 △ ABC中 ， 无论 A为锐角 、 直角还是钝角 ， 对边 AB上的高 h ， 都有 h ＝ b ｓｉｎ A ， 其中 b 为边 AC 的长 ． 为了避免分类讨论 ， 我们借助平面直角坐标系来统一处理 ． 这就是说 ， 三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的乘积的一半 ， 即 三角形的面积公式 为 这样 ， 我们就得到了 正弦定理 ： 在 △ ABC中 ， 若角 A 、 B及 C所对边的边长分别为 a、 b 及 c， 则有 例 １　 如图 ６-３-１ ， 在 △ ABC 中 ， 已知 ∠ CAB ＝１３０° ， ∠ CBA ＝３０° ， AB＝１０ｋｍ． 求 AC与 BC的长 ． （ 结果精确到 ０． １ｋｍ ） 解 　 在 △ ABC 中 ， 由于 C＝１８０°－１３０°－３０°＝２０° ， 由正弦定理 ， 得 从而 所以 ， Ac长约为 １４． ６ｋｍ ， BC长约为 ２２． ４ｋｍ． 利用例 １ 的结果 ， 在本节一开始所考虑的问题中 ， 就可以确 定火场 C的位置 ． 正弦定理表明三角形的各边和它所对角的正弦的比相等 ． 那么 ， 这个比的几何意义是什么呢？ 例 ２　 已知圆 O是 △ ABC的外接圆 ， 其圆心为 O ， 直径为 ２ R ． 试用 R与角 A 、 B 及 C 的正弦来表示三角形三边的边长a 、 b 及 c 解 　 由于三角形内角和等于 １８０° ， 因此角 A、 B及 C中至少有两个角是锐角 ， 不妨设 A 为锐角 ， 如图 ６-３-３ 所示 ． 过 B作直径 BD ， 并连接 CD ． 直径 BD 所对的圆周角 ∠ DCB ＝９０° ，弧 BC所对的圆周角 ∠ D ＝∠ A ， 且 BD ＝２ R ． 于是 a＝BC＝ BDｓｉｎ D＝ BDｓｉｎ A＝２ R ｓｉｎ A， 这样 ， 由正弦定理就得到 换言之a＝２Rｓｉｎ A， b＝２ R ｓｉｎ B ， C＝２ Rｓｉｎ C 例 ３　 设 R是 △ ABC的外接圆的半径 ， S为 △ ABC 的面积 ． 求证 ： 练习 ６． ３ （ １ ） １． 在 △ ABC中 ， 已知 a ＝７ ， B＝３０° ， C＝８５°． 求c ． （ 结果精确到 ０． ０１ ） 课本练习 ２． 在 △ABC 中 ， 已知 a＝５ ， A＝４０° ， B＝８０°． 求 b 、 c 和面积 S ． （ 结果精确到 ０． ０１ ） ３． 在 △ ABC中 ， 如果 试判断该三角形的形状 ． 1.在中，，则等于（ ）. A. B. C. D. 答案：A. 解(1)：因为，所以 因为根据正弦定理， 得故选A. 随堂检测 2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足acos B－bcos A＝c， 则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 B C 17 18 5.在中，已知，，则 答案：. 解(2)：由正弦定理得，即， 解得 1 20 21 22 课堂小结: 1. 正弦定理： 2. 正弦定理可以解决： （1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形. 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即