28.2.2 应用举例（第3课时） 教案-【七彩课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步教学（人教版）

28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例（第3课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.正确理解方向角、坡度、坡角的概念； 2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题； 3.能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等. 【过程与方法】 通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力。 【情感态度与价值观】 渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时 共3课时 四、教学重难点 【教学重点】 用三角函数有关知识解决方位角问题. 【教学难点】 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型. 五、课前准备 教师：课件、直尺、三角板等. 学生：直尺、三角板. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一 (如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数). （二）探索新知 知识点1 方向角的有关问题（出示课件4） 方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角. 教师强调：（出示课件5） （1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”,“南偏……”,的形式. （2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解. （3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换. 考点1 有关方向角的实际问题——距离.（出示课件6） 例 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？ 学生独立思考后师生共同解决：（出示课件7） 解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°） =80×cos25° ≈80×0.91 =72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile． 教师强调：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（出示课件8） （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 出示课件9，学生独立解决，一生板演，教师订正. 考点2 有关方向角的实际问题——预测路线.（出示课件10） 例 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 学生独立思考后，师生共同解决：（出示课件13～14） 解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离. ∵BD∥CE∥AF， ∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°， ∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°. 又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC， ∴BC=AC=12海里， ∴(海里)， ， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 出示课件13～14，学生独立解决，一生板演，教师订正. 知识点2 坡度、坡角有关的问题 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？（出示课件15） 教师问：如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？（出示课件16） 学生思考后，师生共同总结：（出示课件17） 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示. 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母i表示，如图，坡度通常写成的形式. 教师强调：坡度越大，坡角越大，坡面越陡. 出示课件18，学生独立解决并口答，教师订正. 考点1 利用坡度、坡角解答大坝问题 例 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号)（出示课件19） 学生独立思考后，师生共同解答：（出