27.2.1 相似三角形的判定（第4课时） 教案-【七彩课堂】2023-2024学年九年级数学下册同步教学（人教版）

27.2 相似三角形 27.2.1相似三角形的判定（第4课时） 一、教学目标 【知识与技能】 1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法. 2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题. 3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理. 【过程与方法】 经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力. 【情感态度与价值观】 通在探索三角形相似的判定方法过程中，培养学生与他人交流、合作的意识，激发学生探索知识的兴趣，从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维. 二、课型 新授课 三、课时 第4课时 共4课时 四、教学重难点 【教学重点】 1.“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法. 2.判定两个直角三角形相似的方法. 【教学难点】 运用两个三角形相似的判定方法解决简单问题. 五、课前准备 教师：课件、刻度尺、量角器、三角板. 学生：刻度尺、量角器、三角板. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？ （二）探索新知 知识点1 两角分别相等的两个三角形相似 作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，你有什么发现？（出示课件4） 学生按要求动手操作，尝试，得出结论：∠C=∠C'，，这两个三角形是相似的. 教师问：把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ △ABC和△A'B'C'相似吗？（出示课件5） 学生答：一样，△ABC和△A'B'C'相似． 教师问：你能试着证明△A′B′C′∽△ABC吗？ 学生尝试证明△A′B′C′∽△ABC，教师巡视指导，然后多媒体展示验证.（出示课件6） 如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'， 求证:△ABC∽△A'B'C'. 证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'， 过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC. ∵∠ADE=∠B,∠B=∠B', ∴∠ADE=∠B'. 又∵∠A=∠A'，AD=A'B', ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△A'B'C'∽△ABC. 教师归纳：由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似.（出示课件7） 符号语言：在△ABC与△A'B'C'中， ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC∽△A'B'C'. 考点1 利用两角相等判断三角形相似 例 如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．（出示课件8） 学生独立思考后，师生共同解决： 解：∵∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 出示课件9，学生独立思考后口答，教师订正. 考点2 利用三角形相似求等积式 例 弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD.（出示课件10） 师生共同解决： 证明:连接AC、BD. ∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角, ∴∠A=∠D. 同理:∠C=∠B. ∴△PAC∽△PDB. ∴. 即PA·PB=PC·PD. 出示课件11，学生独立思考后口答，教师订正. 知识点2 两直角三角形相似的判定 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.（出示课件12） 学生独立思考后，师生共同解答： 解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°. 又∠C=90°，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC. ∴ ∴ 归纳总结：由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似.（出示课件13） 教师问：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？（出示课件14） 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，. 求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.（出示课件15） 师生共同分析：要证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证若设=k，则只需证k. 教师展示证明过程：（出示课件16） 证明：设=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′ 由勾股定理，得 BC=， B′C′= ∴. ∴ ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 归纳总结：（出示课件17） 判定两直角三角形相似的定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 简