第七讲数列综合运用（求通项与求和）讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性第二册

第七讲 数列的综合运用 知识点一：数列求通项的常用方法 一、利用与的关系求通项公式 1、利用求通项时，要注意检验时的情况。 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个： （1） 将和转化为项,即利用将和转化为项. （2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式． 例1 已知是等比数列，是数列的前项和，，则的值为（    ） A．3 B．18 C．54 D．152 变式练习1 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 . 变式练习2 已知数列满足，则的通项公式 . 变式练习3 已知数列满足． (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列． 二、累加法求通项 1、适用于：…………这是广义的等差数列 2、若 则；……，， 两边分别相加得： 例2 已知数列，，且，，则 _________ ． 变式练习1 若数列满足，则的通项公式是 ． 变式练习2 已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 三、累乘法求通项 1、适用于：…………这是广义的等比数列 2、若， 则，，……，，， 两边分别相乘得： 例3 已知正项数列满足，则_______. 变式练习1 已知数列的首项，对任意的，都有．求数列的通项公式； 四、构造法求通项 对于不满足，，形式的数列常采用构造法，对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解，常用方法如下： 1、形如型 ①若时，数列为等差数列； ②若时，数列为等比数列； ③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。 待定系数法：设，得， 与题设比较系数得：，所以 所以有： 因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。 例4-1已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 变式练习1 已知数列满足，，则该数列的通项公式 _______． 2、形如：（其中是常数，且） ①若时，即：累加即可。 ②若时，即：求通项方法有以下方法： 两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：， 令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。 例4-2 已知数列满足，，则数列的通项公式为 变式练习1 已知数列满足，则数列的通项公式为 . 3、 取倒数型 例4-3已知数列中，，若，则正整数的值为 . 变式练习1 已知数列满足，则数列的前8项和 ． 课后作业 1．完成下列表格： 递推关系 求法 名称 累加 累乘 取倒数 构造法 利用转化 转化法 2．在数列中，，则 _______． 3.已知数列满足.数列的通项公式_______ 4．数列的前项和为，，则_______；设数列的前项和为，则 _______. 5.已知数列满足，，则满足的最小正整数______． 6.已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 7已知正项数列中，，则数列的通项（　　） A． B． C． D． 知识点二：数列求和的常见方法 几种数列求和的常用方法 一、分组（并项）求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 例1-1 在数列中，，，则数列的前项和_____ 变式练习1 已知数列的通项公式，则数列的前项和 _____ . 变式练习2 已知数列满足，，，则数列的前项和为_____． 例1-2 若数列的通项公式，则数列的前2023项的和＝_____. 变式练习1 若数列的通项公式是，则该数列的前100项之和为_____. 变式练习2 设数列 的通项公式为，其前项和为，则 _____ 2、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 裂项相消法中常见的裂项技巧 1、等差型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2、根式型裂项 （1） （2） （3） （4） 练习 已知数列的通项公式为，若前项和为9，则项数为（ ） A．99 B．100 C．101 D．102 3、指数型裂项 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4、对数型裂项