4.3.2等比数列的前n项和公式 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的前n项和公式 【学习目标】1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 一、等比数列前n项和公式 问题1 若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,如何求该等比数列的前n项的和? 知识梳理 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一 Sn= 公式二 Sn= 注意点: (1)用等比数列前n项和公式求和,一定要对该数列的公比q=1和q≠1进行分类讨论. (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数(例如1+2+22+…+2n=). (3)公式二中的a1表示数列的第一项,an表示数列的最后一项(例如1+2+22+…+2n=). 例1 在等比数列{an}中, (1)已知a1=1,公比q=-2,求前8项和S8; (2)已知a1=-, a4=96,求前4项和S4; (3)已知公比q=,前5项和S5=,求a1, a5. 变式练习1 在等比数列{an}中, (1)已知,求前4项和; (2)已知公比,前5项和,求. 变式练习2 已知一个等比数列前3项的和为1,前6项的和为9,求该数列前8项的和. 变式练习3 已知等比数列的各项均为正数,其前n项和为,若 ,则 . 变式练习4 已知等比数列的前3项和为84,,则公比 . Sn==-qn+,设A=-,则Sn=Aqn-A. 例1-2 若是等比数列,且前项和为,则 . 变式练习1 已知等比数列的前项和为,若,则 . 变式练习2 已知等比数列的前项和为,则 . 反思感悟 (1)求等比数列的前n项和,首先应判断公比q=1是否成立,然后要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比. (2)等比数列前n项和运算的技巧 ①在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”,常常列方程组来解答. ②对于基本量的计算,列方程组求解是基本方法,通常用约分或两式相除的方法进行消元,有时会用到整体代换,如qn,都可看作一个整体. ③在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 二、等比数列前n项和公式的性质 问题1 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题,等比数列是否也有相似的性质? 提示 若等比数列{an}的项数有2n项,则 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n, 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1,容易发现两列式子中对应项之间存在联系,即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇,所以有=q. 若等比数列{an}的项数有2n+1项,则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n,其奇数项和为 S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1,从项数上来看,奇数项比偶数项多了一项,于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶,即S奇=a1+qS偶. 问题2 类似于等差数列中的片段和的性质,在等比数列中,你能发现Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗? 提示 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n…仍成等比数列,证明如下: 思路一:当q=1时,结论显然成立; 当q≠1时,Sn=,S2n=,S3n=. S2n-Sn=-=, S3n-S2n=-=, 而2=2,Sn(S3n-S2n)= , 故有2=Sn(S3n-S2n), 所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列. 思路二:由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,故有S2n-Sn=qnSn, S3n=S2n+q2nSn,故有S3n-S2n=q2nSn,故有2=Sn(S3n-S2n), 所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列. 知识梳理 1.若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则: ①在其前2n项中,=q; ②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1); S奇=a1+qS偶. 2.若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N*). 3.数列{an}为公比不为-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍构成等比数列. 注意点:等比数列片段和性质的成立是有条件的,即Sn≠0. 例2-1 已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=_. 变式练习1 已知等比数列的公比,且,则 . 变式练习2 已知一个等比数列的项数是是偶数,其奇数项之和1011,偶数项之和为2022,则这