专题04 正方形的判定与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 正方形的判定与性质重难点题型专训（5大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 正方形的性质理解 题型二 根据正方形的性质求角度 题型三 根据正方形的性质求线段长 题型四 根据正方形的性质求面积 题型五 正方形折叠问题 题型六 根据正方形的性质证明 题型七 证明四边形是正方形 题型八 根据正方形的性质与判定求角度 题型九 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十 根据正方形的性质与判定求面积 题型十一 根据正方形的性质与判定证明 题型十二 中点四边形 题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十四 四边形中的线段最值问题 题型十五 四边形的其他综合问题 【知识梳理】 知识点1：正方形的概念与性质 1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 知识点2：正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 【经典例题一 正方形的性质理解】 【例1】（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）关于正方形性质的描述： ①既是轴对称图形，也是中心对称图形； ②对边平行且相等，四条边相等； ③四个角相等，且都等于； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角． 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）如图，四边形为正方形，E为上一点，于点F，连接，设，若，则可表示为（　　）    A． B． C． D． 2．（2023下·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，同一平面内的四条平行直线、、、分别过正方形的四个顶点、、、，且每相邻的两条平行直线间的距离都为1，则该正方形的面积是 ． 3．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形中，延长至点E，使得，连接，，交于点F． (1)试探究的形状； (2)求的度数． 【经典例题二 根据正方形的性质求角度】 【例2】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，为正方形外一点，且是等边三角形，的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，“笔尖”图案五边形由正方形和等边组成，连接，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（2023上·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是 ． 3．（2023上·全国·七年级专题练习）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，其中E点在边上，F、G分别在边、上，分别以、为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点和点． 甲同学的操作如图2，其中； 乙同学的操作如图3，落在所在直线上； 丙同学的操作如图4，落在上，落在上． (1)求出图2中的度数； (2)直接写出图3中的度数； (3)直接写出图4中的度数； (4)若折叠后，直接写出的度数（用含n的代数式表示）． 【经典例题三 根据正方形的性质求线段长】 【例3】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形中，分别以为圆心，以相同长度为半径作弧相交于点，作射线交对角线于点，若，则（    ）．    A． B． C．2 D． 【变式训练】 1．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，正方形的边长为6，点是对角线上一点，且，则的长度为（    ） A．4 B． C． D． 2．（2024下·八年级课时练习）如图，正方形中，，E是的中点，点P是对角线上一动点，则的最小值为 ．    3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在四边形中，O是边上的一点．若，则O叫做该四边形的“等形点”．      (1)正方形________“等形点”（填“存在”或“不存在”）； (2)如图1，在四边形中，边上的O是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长； (3)如图2，在四边形EFGH中，．若边上的O是四边形的“等形点”，求． 【经典例题四 根据正方形的性质求面积】 【例4】（2023上·江西宜春·九年级宜春市第三中