命题点1 圆的基本性质（含垂径定理）（必考）-【一战成名新中考】2024江西中考数学·基础夯实练优质课件PPT

第六章 圆 命题点1 圆的基本性质（含垂径定理）（必考） 江西数学 数学 1 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念; 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 2 要点归纳 1.圆的有关概念与性质 圆 ____________________________________ （1）平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个 端点形成的图形叫作圆.如图，固定的端点 称为圆心，线段 称为半径； （2）圆还可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形，定点就是圆心，定长就是半径 3 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆,同圆或等圆的半径①______ 弦 （1）连接圆上任意两点的线段叫作弦．如图，线 段 , ; （2）经过②______的弦叫作直径，在圆的所有弦 中， ③______是最长的弦．如图，线段 相等 圆心 直径 续表 4 弧 圆上任 意两点 间的部 分叫作 圆弧， 简称弧 （1）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成 两条弧，每一条弧都叫作半圆.如图，半圆 ； （2）大于半圆的弧叫作④______.如图， ; （3）小于半圆的弧叫作⑤______.如图， ; （4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫 作等弧 优弧 劣弧 续表 5 圆心角 顶点在⑥______的角叫作圆心角．如图， ， 圆周角 顶点在⑦______，两边分别与圆还有另一个 交点，这样的角叫作圆周角．如图， 圆的对 称性 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线； （2）圆是中心对称图形，它的对称中心为圆心 圆的旋 转不变 性 圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合 圆心 圆上 续表 6 易错警示： （1）圆上任意一条弦对应两段弧； （2）直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，一个圆有无数条直径和半径； （3）半圆是弧（注意一定不能带直径），但弧不一定是半圆； （4）等弧只存在于同圆或等圆中，指的是能够完全重合的弧. 7 2.弦、弧、圆心角的关系 定 理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ⑧______，所对的弦⑨______.如图，若 ⑩ _______，则 , ⑪____ 推 论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 都分别⑫______，即“知一推二”.如图，若 ，则 ⑬_______， ；若 ⑭____，则 ⑮_______， 相等 相等 相等 8 3.垂径定理及其推论 （1）定理：垂直于弦的直径 ⑯ ______弦，并且 ⑰ ______弦所对的两条弧； （2）推论：平分弦（不是直径）的直径 ⑱ ______于弦，并且 ⑲ ______弦所对的弧． 平分 平分 垂直 平分 “知二推三”——如图1，根据圆的对称性，有以下五 个结论： 是 的直径； ⑳ ____； ㉑ ____； ； ㉒_ ___. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立. 图1 9 4.垂径定理的应用 （1）过圆心作弦（非直径）的垂线，连接圆心和弦的一个端点（即半径），构造直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算. （2）确定一条弧所在圆的圆心 图2 如图2，确定 所在圆的圆心.作法： 在 上取一点 ，作 , 的垂 直平分线，两条垂直平分线的交点 即为 所在圆的圆心. 10 （3）求圆内两条平行弦间的距离时，需要分情况讨论： 已知弦 、弦 、 的半径长，若 ，求两条弦之间的距离 情况一：当两条弦位于圆心同侧时 情况二：当两条弦位于圆心异侧时 利用勾股定理，在 中求 出 ，在 中求出 ， 利用勾股定理，在 中求 出 ，在 中求出 ， 11 （4）点在圆上运动时，相关计算需要分情况讨论： 如图，根据圆的轴对称性， 上到直径 距离相等的点 的个数为4，设 的半径为 , ， 情况一：当点 在圆心左侧时 情况二：当点 在圆心右侧时 ， ， 12 随堂练习 （人教九上P83练习1改编）如图， 的直径 为 ，弦 ， 垂足为点 ，连接 ， , . （1）有以下结论： , , , .其中正确的是________; （填序号） ①③④ 13 （2）若 ，则 _____ ， ____ ； 120 30 （3）若 ，则 ___ ， ___ ，