思维拓展01 平面向量与三角形中的四心问题（精讲）-2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学高频考点题型归纳与方法总结 思维拓展01 平面向量与三角形中的四心问题（精讲+精练） 一、三角形的重心 1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 二、三角形的外心 1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ；反之，若或 ，则点是△的外心。 三、三角形的内心 1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3.内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有；反之，若，则点是△的内心． 四、三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 ，反之，若或 ，则是△的垂心． 题型一：重心 【例1】如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理计算即可. 【详解】设，则 ， 又因为G是的重心，故， 所以有.故选：A 一、单选题 1．（2024下·全国·高一专题练习）若所在平面内一点P满足，则P是的（    ）． A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．（2024·全国·高一假期作业）已知是的重心，若，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024下·全国·高一专题练习）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心 4．（2024下·全国·高一专题练习）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（    ） A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2 5．（2024下·全国·高一专题练习）已知G为△ABC的重心（三条中线的交点），，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高一假期作业）如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（    ）    A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3 二、填空题 7．（2024下·全国·高一专题练习）已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝ . 8．（2024下·全国·高一专题练习）如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为 ． 9．（2024下·全国·高一专题练习）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，则的最小值为 . 三、解答题 10．（2024·全国·高一假期作业）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 11．（2024下·全国·高一专题练习）经过的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，. (1)证明：为定值； (2)求m＋n的最小值. 题型二：外心 【例1】直角中，为的外心，（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】依题意可得为的中点，即可得到且，再代入求解即可． 【详解】解：直角中，，，为的外心， 为的中点，即， 且， ， 故选：B． 一、单选题 1．（2023下·湖北武汉·高一统考期末）已知是边上的点，且为的外心，则的值为（    ） A． B．10 C． D．9 2．（2023下·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·上海黄浦·高一上海市敬业中学