2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用重难点检测卷

2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用重难点检测卷 一、选择题 1．下列求导数计算错误的是（　　） A． B． C． D． 2． 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为（　　） A． B． C． D． 3．若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（　　） A．1 B． C． D． 4．设函数的导函数为，若，则（　　） A． B． C． D． 5．已知函数的图象如图所示，设函数从到的平均变化率为，从到的平均变化率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 6．已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（　　） A． B． C． D． 8．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题 9．下列求导正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数及其导函数满足，且，则（　　） A．在上单调递增 B．在上有极小值 C．的最小值为 D．的最小值为0 11．在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．曲线在点处的切线方程为　 　． 13．已知，若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为　 　． 14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率已知，则曲线在点处的曲率为　 　． 四、解答题 15．已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）讨论函数的零点个数． 16．已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数a的取值范围. 17．已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 18．已知：函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 19．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若不等式恒成立，求的最小值． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】A,C 10．【答案】A,B 11．【答案】A,D 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】0 15．【答案】（1）解：由，可得， 令，解得， 当时，则，可得，在单调递减； 当时，则，可得，在单调递增； 故函数的单调递减区间是，单调递增区间是． （2）解：由，得， 因此函数的零点个数等价于函数与的图象的交点个数， 因为，所以的递增区间是，递减区间是， 所以当时，取最大值， 由（1）可知，当时，取最小值， 当，即时，函数与的图象没有交点，即函数没有零点； 当，即时，函数与的图象只有一个交点，即函数有一个零点； 当，即时，函数有两个零点， 理由如下： 因为， 所以，， 由函数零点存在定理，知在内有零点. 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以在上只有一个零点. 又因为， 所以的图象关于直线对称， 因为的图象关于直线对称， 所以与的图象都关于直线对称， 所以在上只有一个零点. 所以，当时，有两个零点. 16．【答案】（1）解：当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值. （2）解：因为在上有解， 所以在上有解， 当时，不等式成立，此时， 当时在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 17．【答案】（1）解：∵， ∴点在曲线上． ∵， ∴在点处的切线的斜率为 ∴切线的方程为． 即. （2）解：设切点为， 则直线的斜率为， ∴直线的方程为： . 又∵直线过点(0，0)， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴直线的方程为，切点坐标为． 18．【答案】（1）解：当时，， 所以， 令，则， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以取得最小值， 所以在上成立， 所以在上递增； （2）解：因为在上单调递增， 所以，恒