7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第6课时教学设计 课题 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课型 新授课R 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□ 1.教学内容分析 本节的主要内容是复数的乘法运算的三角表示及其几何意义；复数除法运算的三角表示及其几何意义 在已学过复数乘除运算的代数表示以及复数三角表示式的情况下，学习其乘除运算的三角表示及其几何意义，一方面感悟复数三角形式下的乘除运算的简便性，另一方面进一步理解乘除运算的几何意义 2.学习者分析 在前面已经学习了复数的代数形式的乘除运算和复数的三角形式，理解了复数的几何意义，相信学生在学习复数的三角形式的乘、除运算及其几何意义时还是比较顺利的，也是很感兴趣的，在具体的学习过程中学生可能会在以下两方面感觉有困惑：一是对复数乘除运算所得到的辐角与计算前两个复数的辐角之间关系的理解；二是对复数乘除运算模的变化的实际意义的理解 3.学习目标确定 1.会进行复数三角形式的乘除运算； 2.理解复数乘、除运算的三角表示的几何意义； 4.学习重点难点 重点：复数乘、除运算的三角表示． 难点：复数乘、除运算的三角表示的几何意义． 5.学习评价设计 本节课不使仅要求学生记住结论，还要引导学生去探究复数乘、除运算的三角表示的几何意义，进而去巩固复数的三角形式的乘、除法法则。在探究过程中促进学生主动参与学习，强化学生在学习中的体验，激发学生独立思考和自主探究。促使学生“爱学”、“会学”和“会思考”。新教材的研究性呈现，给学生创设了广阔的参与空间。在本节课教学过程中引导学生去完成复数乘、除法的几何意义，让学生充分参与课堂教学。本节课内容体现了弹性，所以根据学生的发展水平，选择合适的内容进行教学，符合学生认知特点，贴近学生的生活实际。由于新教材既要求帮助学生掌握知识，又要促进学生的发展，所以本节课在教学过程中了解学生的数学学习历程，对探究复数乘、除运算的三角表示的几何意义的过程中既要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程。 6.学习活动设计 过程 学习内容与教师活动（引领性问题） 学生任务或学习活动设计 设计意图或评价目标 导入新 课 讲授新 课 一、情境引入 问题1：我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式加法和乘法运算的法则是什么？ 学生通过回顾上节课所学的相关的知识点,引出本节新课内容。 复数加法、乘法运算的法则是研究复数加法、乘法运算三角表示的出发点，提出这个问题，激活学生已有的认知基础，为本节课研究复数乘法运算的三角表示进行铺垫。 2． 复数乘法运算的三角表示及几何意义的探究及应用 问题2：上节课，我们学习了复数一种新的表示方法—三角形式，那么复数的加法和乘法运算是否能用三角形式来表示呢？ 思考：如果把复数，分别写成三角形式sin，你能计算+和并将结果分别表示成三角形式吗？ 答案：一般来说复数的加法不便表示成三角形式；复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为： sin•sin=+isin． 推导过程如下： 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到： ． 即． 思考：复数的减法运算是加法运算的逆运算，复数的减法运算是否能用三角形式来表示？ 答案：一般说来复数的减法不便表示成三角形式． 问题3：你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗？ 答案：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，可以简述为“模相乘，辐角相加”． 问题4：我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义．请你由复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试． 答案：两个复数，相乘时，可以像下图那样，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点Ｏ按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．这就是复数乘法的几何意义． 问题5：你能解释和的几何意义吗？ 答案：可以写为i，其几何意义是“将i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到-1对应的向量”；可以写为i，其几何意义是“将对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到1对应的向量”． 例1：已知，，请把结果化为代数形式，并做出几何解释． 解； ． 几何解释：首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量．即为积所对应的向量． 复数乘法几何意义是解题关键：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 例2. 如图，向量对应的复数为1+i，把绕点O按逆时针方向旋转120°，得到． 求向量对应的复数（用代数形式表示）． 分析：